[논문 리뷰] Controllability of the Strongly Damped Impulsive Semilinear Wave Equation with Memory and Delay

Cristi Guevara, Hugo Leiva|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 09.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고정점 정리에 의존하지 않는 새로운 접근법을 통해 기억 효과, 순간 충격, 지연을 포함한 강하게 둔감한 비선형 파동 방정식의 근사 제어 가능성을 확립한다. A.E. Bashirov 등이 제안한 기법을 적용하고, 지연을 이용해 짧은 시간 간격 동안 제어 해를 고정된 곡선을 따라 이동시킴으로써, 기억 효과와 순간 충격으로 인해 발생하는 유계가 아닌 제어 수열에도 불구하고 시스템이 원하는 최종 상태에 임의로 가까이 유도될 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

This article is devoted to study the interior approximated controllability of the strongly damped semilinear wave equation with memory, impulses and delay terms. The problem is challenging since the state equation contains memory and impulsive terms yielding to potential unbounded control sequences steering the system to a neighborhood of the final state, thus fixed point theorems cannot be used directly. As alternative, the A.E Bashirov and et al. techniques are applied and together with the delay allow the control solution to be directed to fixed curve in a short time interval and achieve our result.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인 내에서 기억 효과, 순간 충격, 시간 지연을 포함한 강하게 둔감한 비선형 파동 방정식의 근사 제어 가능성에 대해 연구한다.
• 기억 효과와 순간 충격 항이 제어 수열이 무한대가 되게 하여 고정점 정리의 직접적 적용을 어렵게 하는 문제에 대응한다.
• 유한한 제어 입력을 사용하여 시스템이 원하는 최종 상태에 임의로 가까이 유도될 수 있도록 하는 제어 전략을 개발한다.
• 기억 효과, 순간 충격, 지연의 복합적 영향을 고려한 기존의 제어 가능성 결과를 확장한다.

제안 방법

• 저자들은 A.E. Bashirov 등이 제안한 고정점 정리에 의존하지 않는 기법을 사용하여, 무한대가 되는 제어 수열 상황에서 실패하는 고정점 정리에 의존하지 않는다.
• 최종 시간 근처의 짧은 시간 간격 동안 고정된 곡선을 따라 시스템을 이동시키기 위해 시간 지연 피드백 메커니즘을 통해 제어 해를 정의한다.
• 강한 연속 준군에 의해 지배되는 해석공간 $\mathcal{Z}^{1/2} = D((-Δ)^{1/2}) \times L^2(\Omega)$ 에서 힐버트 공간 설정으로 시스템을 재구성한다.
• 분포 제어 $u$, 기억 적분 항 $\int_0^t M(t,s)g(w(s-r,x))ds$, 비선형 항 $f$ 를 포함하는 변형 상수 공식을 사용하여 온화한 해를 구성한다.
• 최종 시간 간격 $[\tau - \delta, \tau]$ 에서 제어 입력 $u_\alpha^\delta$ 를 설계하여 목표 상태 근처로 수렴하도록 보장한다.
• 연산자 노름과 비선형 항에 대한 추정을 사용하여 제어 해와 목표 상태 사이의 거리를 유계로 제한함으로써 근사 제어 가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기억 효과와 순간 충격으로 인해 발생하는 유계가 아닌 제어 수열이 존재하는 상황에서도 기억 효과, 순간 충격, 지연을 포함한 강하게 둔감한 비선형 파동 방정식은 근사적으로 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 A.E. Bashirov 등이 제안한 고정점 정리가 없는 기법이 이 맥락에서 표준 고정점 정리의 대안으로 유용한가?
• RQ3 지연 항을 활용하여 짧은 시간 간격 동안 제어 해를 고정된 곡선을 따라 이동시켜 근사 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 기억 효과와 순간 충격 외란이 동시에 존재할 경우에도 근사 제어 가능성은 유지되는가?
• RQ5 제안된 방법은 기억 효과, 지연, 비선형성을 유사한 특성을 지닌 다른 비선형 진화 방정식 클래스로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 공간 $\mathcal{Z}^{1/2}$ 에서 시스템은 근사적으로 제어 가능하며, 이는 해가 원하는 최종 상태의 $\epsilon$-근처로 유도될 수 있음을 의미한다.
• 제어 전략은 고정점 정리를 피하기 위해 시간 지연 피드백 메커니즘을 사용하여 유계성과 수렴성을 보장한다.
• 제어 해 $z^{\delta,\alpha}(\tau)$ 와 목표 상태 $z_1$ 사이의 거리는 $\epsilon$ 이하로 유계로 제한되며, $\|z^{\delta,\alpha}(\tau) - y^{\delta,\alpha}(\tau)\| < \epsilon/2$ 와 $\|y^{\delta,\alpha}(\tau) - z_1\| < \epsilon/2$ 를 만족한다.
• 기억 효과, 순간 충격, 지연의 영향에도 불구하고 이 방법은 강건하며, 이러한 영향에도 불구하고 유계인 제어 수열의 구성으로써 이를 입증한다.
• 이 방법은 기억 효과와 지연을 포함한 순간 충격 비선형 빔 방정식, 그리고 힐버트 공간 내 더 일반적인 비선형 진화 방정식으로도 확장 가능하다.
• 비선형 항이 리프시츠 유형의 유계 조건: $|f(t,w,v,u)| \leq a_0\sqrt{|w|^2 + |v|^2} + b_0$ 를 만족하는 조건 하에서 결과가 성립하며, 이는 해의 존재성과 유일성에 충분한 정규성을 보장한다.