[논문 리뷰] Controlled Floyd Separation and Non Relatively Hyperbolic Groups

Shubhabrata Das, Mahan Mj|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유군의 무한 생성인 malnormal 부분군 $K$ 를 따라 두 개의 자유군 $F_2$ 를 결합하여 얻는 유한 생성 군 $G = F_2 *_K F_2$ 를 구성한다. 이 군 $G$ 는 어떤 진부분군에 대해서도 상대적으로 초구형이 아니며, 쿼지지오데식에 대해 폭발적으로 분리된 지오데식 광선이 비가산 개 존재하고, 강력한 기하적 특성(예: 초구형 CAT(0) 큐브화된 군의 직접 극한이자 모든 유한형상 부분군이 초구형인 것)을 지닌다. 그러나 Floyd 경계는 단일 점이므로 자명하다.

ABSTRACT

We introduce the notion of controlled Floyd separation between geodesic rays starting at the identity in a finitely generated group G. Two such geodesic rays are said to be Floyd separated with respect to quasigeodesics if the (Floyd) length of c-quasigeodesics (for fixed but arbitrary c) joining points on the geodesic rays is asymptotically bounded away from zero. This is always satisfied by Morse geodesics. The main purpose of this paper is to furnish an example of a finitely generated group $G$ such that 1) all finitely presented subgroups of G are hyperbolic, 2) G has an uncountable family of geodesic rays that are Floyd separated with respect to quasigeodesics, 3) G is not hyperbolic relative to any collection of proper subgroups. 4) G is a direct limit of hyperbolic CAT(0) cubulated groups. 5) G has trivial Floyd boundary in the usual sense. On the way towards constructing $G$, we construct a malnormal infinitely generated (and hence non-quasiconvex) subgroup of a free group, giving negative evidence towards a question of Swarup and Gitik.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군 $G$ 를 구성함으로써, 어떤 진부분군에 대해서도 상대적으로 초구형이 아니며 강력한 기하적·대수적 성질을 지닌 군을 만들기.
• 쿼지지오데식에 대해 Floyd로 분리된 비가산 개의 지오데식 광선이 존재함을 보여주어, 제어된 거리 척도 하에서 비자명한 경계 구조가 존재함을 시사하기.
• 군 $G$ 의 Floyd 경계가 자명하다(단일 점)임을 보여주어, $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 또는 넓은 군의 존재와 같은 기존의 자명성에 대한 차단 조건에 도전하기.
• 비자명한 Floyd 경계의 특성에 대한 잠재적 특성화를 반박하기 위해, 제어된 Floyd 분리를 갖지만 경계는 자명한 군을 구성함으로써 반례를 제시하기.
• 자유군 내에서 무한 생성인 malnormal 부분군의 존재를 보여주어, Swarup과 Gitik의 쿼지컨벡스성 및 malnormality에 관한 질문에 대한 부정적인 증거를 제공하기.

제안 방법

• 자유군의 상승합합 $K = \bigcup_n K_n$ 으로 이루어진 malnormal 쿼지컨벡스 부분군을 따라 $G = F_2 *_K F_2$ 를 구성한다.
• 도형적 계층적 소형 침식 이론을 사용하여 $G$ 가 $GSC_3$ 를 만족하고, 간격이 빈약한 초구형임을 보장함으로써, 점근적 콘에서의 초구형성을 유도한다.
• 지오데식 광선 사이의 쿼지지오데식 경로를 분석하여 제어된 Floyd 분리를 확립함으로써, 그들의 Floyd 길이가 0에서 일정하게 떨어져 있음을 보여준다.
• Floyd 경계의 자명성을 증명하기 위해, $F_2(a,b)$ 와 $F_2(x,y)$ 의 부분군의 모든 극한점이 Floyd 거리 척도 하에서 일치함을 보이며, 대칭적인 쿼지지오데식 형상을 지닌 관계자 $R_m$ 을 사용한다.
• 점근적 콘과 트리-그레이드드 공간 이론을 적용하여 군 $G$ 의 기하학을 분석함으로써, 극한 원이 서로 자명하게 겹치며 절단점이 존재하지 않음을 보여준다.
• 상대적 초구형성, 쿼지컨벡스성, 수렴 작용의 결과를 적용하여, Floyd 경계에 대한 작용이 최소적이며 자명함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군이 상대적으로 초구형이 아니며, 쿼지지오데식에 대해 Floyd로 분리된 지오데식 광선이 비가산 개 존재할 수 있는가?
• RQ2 Floyd 경계의 자명성이 상대적 초구형성을 보장하는가, 아니면 초구형 큐브화된 군의 직접 극한과 같은 강력한 기하적 특성을 지닌 군에서도 발생할 수 있는가?
• RQ3 자유군 내에서 무한 생성인 malnormal 부분군이 존재할 수 있으며, 이는 이러한 부분군의 쿼지컨벡스성과 초구형 임bedding에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 지오데식 광선 사이의 제어된 Floyd 분리가 Floyd 경계의 비자명성을 암시하는가, 아니면 그러한 분리가 자명한 경계와 공존할 수 있는가?
• RQ5 군이 초구형 큐브화된 군의 직접 극한이면서도 모든 유한형상 부분군이 초구형인데도 불구하고 Floyd 경계가 자명할 수 있는가?

주요 결과

• 군 $G = F_2 *_K F_2$ 는 어떠한 진부분군의 집합에 대해서도 상대적으로 초구형이 아니며, 정리 4.1에서 이를 입증한다.
• 모든 $\kappa > 1$ 에 대해 $(\kappa,\kappa)$-쿼지지오데식에 대해 Floyd로 분리된 지오데식 광선이 비가산 개 존재하며, 정리 7.1에서 이를 확립한다.
• Floyd 경계 $\partial_f G$ 는 단일 점으로 이루어져 있어 자명하다. 정리 8.1에서 이를 증명한다.
• 모든 유한형상 부분군은 초구형이며, $G$ 는 $BS(m,n)$ 형식의 Baumslag-Solitar 군을 포함하지 않는다. 정리 3.11에서 기술되어 있다.
• $K = \bigcup_n K_n$ 은 $F_2$ 에서 malnormal 이며 무한 생성이다. 이는 Swarup과 Gitik의 쿼지컨벡스성에 관한 질문에 대한 부정적인 답변을 제공한다.
• 군 $G$ 의 점근적 콘에는 절단점이 없으며, 극한 원이 $K_2$ 의 점근적 콘과 자명하게 겹친다. 정리 6.7에서 이를 보여준다.