[논문 리뷰] Controlled invariant sets: implicit closed-form representations and applications

Tzanis Anevlavis, Zexiang Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 19.

Fault Detection and Control Systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 추가 외란이 있는 이산시간 선형 시스템에서 강건한 제어 가능 불변집합(RCIS)을 위한 새로운 암묵적 폐형 표현을 제안하며, 유한한 입력 시퀀스를 사용하여 단일 단계 계산을 가능하게 한다. 이 방법은 외란이 없는 경우 고차원에서의 확장성과 완전성을 달성하며, 외란이 있는 경우 약한 완전성과 근사 경계를 확보하여 LP, MIQP 또는 QP와 같은 최적화 프로그램을 통한 효율적인 안전 중심 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We revisit the problem of computing (robust) controlled invariant sets for discrete-time linear systems. Departing from previous approaches, we consider implicit, rather than explicit, representations for controlled invariant sets. Moreover, by considering such representations in the space of states and finite input sequences we obtain closed-form expressions for controlled invariant sets. An immediate advantage is the ability to handle high-dimensional systems since the closed-form expression is computed in a single step rather than iteratively. To validate the proposed method, we present thorough case studies illustrating that in safety-critical scenarios the implicit representation suffices in place of the explicit invariant set. The proposed method is complete in the absence of disturbances, and we provide a weak completeness result when disturbances are present.

연구 동기 및 목표

• 고차원 시스템에서 최대 강건 제어 가능 불변집합(RCIS)을 계산하는 데 있어 전통적인 반복적 방법의 확장성 및 종료 문제를 해결한다.
• 상태-입력 시퀀스 공간에서의 암묵적 표현을 도입하여 명시적 RCIS 계산의 계산 부담을 완화한다.
• 외란이 없거나 있는 경우 모두 RCIS 계산의 완전성 및 근사 보장 조건을 수립한다.
• 암묵적 RCIS 표현이 명시적 집합 계산이 필요 없이도 실질적인 안전 중심 제어 응용(예: MPC 및 감시 제어)에 충분함을 보여주며, 이를 통해 명시적 집합 계산의 필요성을 피한다.
• 최종적으로 주기적인 입력 시퀀스를 활용한 계층적 파arameterization을 개발하여 점차 더 큰 불변집합을 체계적으로 구성한다.

제안 방법

• 명시적 다면체 표현을 피하기 위해, 상태와 유한 길이의 입력 시퀀스의 결합 공간에 있는 집합으로서 RCIS를 암묵적으로 표현한다.
• 상태-입력 공간에서 암묵적 RCIS의 폐형 표현을 유도하기 위해, 최종적으로 주기적인 입력 시퀀스를 파arameterization으로 사용한다.
• 선형 변환에 대한 다면체의 역상으로서 RCIS를 정의함으로써, 선형 대수 연산을 통한 단일 단계 계산을 가능하게 한다.
• 입력 시퀀스의 주기 길이를 변화시켜 RCIS 근사의 계층을 정의함으로써, 불변집합의 체계적 확장을 가능하게 한다.
• 민코프스키 합과 선형 변환을 활용하여 RCIS를 고차원 다면체의 사영으로 표현함으로써, 효율적인 최적화 기반 평가를 가능하게 한다.
• 표준 최적화 프로그램(LP, MIQP, QP)을 사용하여 암묵적 RCIS 내의 소속성을 평가함으로써, 이 방법이 대규모 시스템에 실용적임을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 외란이 있는 이산시간 선형 시스템에서 반복 계산을 피할 수 있는 암묵적 폐형 표현을 RCIS에 대해 유도할 수 있는가?
• RQ2 제안된 암묵적 RCIS 표현이 명시적 집합 계산 없이도 실질적인 응용에서 안전 중심 제어를 충분히 지원할 수 있는가?
• RQ3 외란이 없는 경우와 있는 경우 모두에서 제안된 방법에 대해 어떤 완전성 보장을 확보할 수 있는가?
• RQ4 최종적으로 주기적인 입력 시퀀스를 통한 계층적 파arameterization이 계산된 RCIS의 크기와 품질을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 최적화 기반 평가를 통해 암묵적 RCIS를 얼마나 정밀하게 근사할 수 있으며, 그 오차 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 반복 알고리즘의 필요 없이 폐형 대수적 표현을 통한 단일 단계 계산으로 RCIS를 계산함으로써, 시스템 차원 증가에 따라 악화되는 확장성 문제를 해결한다.
• 외란이 없는 경우, 이 방법은 완전성 보장이 있으며 최대 제어 가능 불변집합(CIS)을 임의로 잘 근사할 수 있다.
• 외란이 있는 경우, 약한 완전성 결과가 확보되며, 계산된 RCIS는 최대 CIS의 수축하는 이웃 영역 내에 포함되며, 그 경계는 $ c_2 a^ au $로 제한되며, 여기서 $ a < 1 $ 이다.
• 계산된 RCIS와 최대 CIS 사이의 하우스도르프 거리는 입력 시퀀스 수평의 길이에 따라 지수적으로 감소하므로 고정밀 근사가 보장된다.
• 암묵적 RCIS 표현은 사례 연구를 통해 MPC 및 감시 제어와 같은 실질적 안전 중심 제어 응용에서 충분히 유용함을 입증하였으며, 명시적 집합 계산이 필요 없음을 보여준다.
• 이 방법은 표준 최적화 프로그램(LP, MIQP, QP)을 통해 RCIS 소속성 평가를 효율적으로 수행할 수 있으며, 솔버의 성능 한계 이외에는 제약이 없어 대규모 시스템에 적합하다.