[논문 리뷰] Controlled Lagrangians and Stabilization of Euler--Poincar\'e Mechanical Systems with Broken Symmetry II: Potential Shaping

César Contreras, Tomoki Ohsawa|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 05.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 중력이나 부력과 같은 외부 힘에 의해 대칭성이 깨진 SE(3)와 같은 반직접곱 리 군 위의 올레르–파앵카르 기계계통을 위한 잠재력 형태 제어 프레임워크를 개발한다. 표현과 이동 매개변수를 사용하여 일치 조건을 유도하며, 기존의 무거운 원추와 수중 차량 연구를 일반화하여, 안정화 설계를 단순화하고 더 복잡한 제어 문제에 대해 더욱 간결한 표현을 가능하게 하는 통합적이고 표현 기반의 접근법을 제시한다. 기존 결과를 재현하면서도, 더 나은 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

We apply the method of controlled Lagrangians by potential shaping to Euler--Poincar\'e mechanical systems with broken symmetry. We assume that the configuration space is a general semidirect product Lie group $\mathsf{G} \ltimes V$ with a particular interest in those systems whose configuration space is the special Euclidean group $\mathsf{SE}(3) = \mathsf{SO}(3) \ltimes \mathbb{R}^{3}$. The key idea behind the work is the use of representations of $\mathsf{G} \ltimes V$ and their associated advected parameters. Specifically, we derive matching conditions for the modified potential exploiting the representations and advected parameters. Our motivating examples are a heavy top spinning on a movable base and an underwater vehicle with non-coincident centers of gravity and buoyancy. We consider a few different control problems for these systems, and show that our results give a general framework that reproduces our previous work on the former example and also those of Leonard on the latter. Also, in one of the latter cases, we demonstrate the advantage of our representation-based approach by giving a simpler and more succinct formulation of the problem.

연구 동기 및 목표

• 중력이나 부력과 같은 외부 힘에 의해 전체 대칭성이 깨진 경우, SE(3)와 같은 반직접곱 리 군 위의 기계계통의 안정화를 다루기 위해.
• 이동 매개변수를 포함한 올레르–파앵카르 시스템에 대해 제어 라그랑지안 방법을 확장하여, 특히 잠재력 형태 제어를 통해.
• 무거운 원추가 움직이는 기초 위에 있는 경우와 질량 중심과 부력 중심이 일치하지 않는 수중 차량과 같은 시스템의 기존 제어 법칙을 통합하고 일반화하기 위해.
• 표현 이론과 운동량 맵이 잠재력 형태 제어의 일치 조건 유도에 체계적인 프레임워크를 제공하는지 확인하기 위해.
• 표현을 통해 추가적인 이동 매개변수를 도입함으로써, 특히 유영 방지 및 자세 제어와 같은 복잡한 목표를 위한 더 유연하고 단순화된 제어 설계가 가능해지는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 구성공간 S = G ⋊ V인 반직접곱 리 군 G ⋊ V 위에서 기계계통을 기술하고, 대칭성이 깨진 상태에서 이동 매개변수를 포함한 올레르–파앵카르 방정식을 사용한다.
• 리 군 S의 표현과 관련된 운동량 맵을 사용하여 이동 매개변수를 기술하며, 선형 운동량이나 자세 관련 변수와 같은 물리적 양을 표현한다.
• Euler–Poincaré 방정식의 구조를 유지하면서, s × X* 위에서 시스템의 잠재 에너지를 수정함으로써 잠재력 형태 제어를 적용한다.
• 이동 매개변수를 정의하는 데 사용된 표현과 관련된 운동량 맵을 동일시하여, 원래 시스템과 제어된 시스템 간의 일치 조건을 유도한다.
• 두 가지 제어 설정을 고려한다: (i) 하위 표현을 통해 이동 매개변수를 단순화하고 시스템을 축소하는 것, 그리고 (ii) 운영 목표를 추적하기 위해 새로운 이동 매개변수를 도입하는 것.
• 확장된 쌍대 공간 (s × X*) 위에서 리–파울스 브라켓을 사용하여 해밀토니안 기반 기술을 제공하고, 제어된 시스템의 구조를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반직접곱 리 군 위에서 대칭성이 깨진 올레르–파앵카르 시스템에 대해 잠재력 형태 제어를 어떻게 체계적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 군 표현과 그 관련 운동량 맵은 잠재력 형태 제어의 일치 조건 유도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 제안된 방법이 수중 차량과 움직이는 기초 위의 무거운 원추에 대해 알려진 제어 법칙을 재현하고 단순화할 수 있는가?
• RQ4 새로운 표현을 통해 추가적인 이동 매개변수를 도입함으로써, 특히 유영 방지와 같은 복잡한 목표를 위한 제어 설계는 어떻게 향상되는가?
• RQ5 제어 라그랑지안의 구조와 유도된 평형점의 안정성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 반직접곱 군의 표현과 관련된 운동량 맵을 통해 잠재력 형태 제어의 명시적 일치 조건을 도출하였으며, 이는 체계적인 제어 설계를 가능하게 한다.
• 이 방법은 리처드슨(2000)의 수중 차량 제어 법칙을 재현하며, 원래보다 더 단순한 표현으로 자세 안정화와 유영 방지를 달성한다.
• 움직이는 기초 위의 무거운 원추에 대해, 이전 연구[13]에서의 잠재력 형태 제어 결과를 재현함으로써 일致성과 프레임워크의 타당성을 확인한다.
• 새로운 표현을 통해 추가적인 이동 매개변수를 도입함으로써, 수중 차량의 유영 방지 문제에 대해 더 간결하고 체계적인 수식 표현이 가능해진다.
• se(3) × (R³ × (R⁴ × R⁴)))* 위에서 리–파울스 브라켓을 유도하였으며, ||Γ||², ||∆i||², Γ · ∆i와 같은 카시미르 함수가 존재함을 보여주었으며, 이는 안정성 분석에 핵심적이다.
• 표현 기반 모델링이 하나의 이론적 구조 안에서 자세 제어 및 유영 억제와 같은 다양한 제어 목표를 통합적으로 다룰 수 있음을 입증하였다.