[논문 리뷰] Controlling a d-level atom in a cavity

Thomas Hofmann, Michael Keyl|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 20.

Quantum optics and atomic interactions참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에너지 준위와 전이를 순서가 부여된 그래프 Γ의 정점과 간선으로 모델링하는 그래프 이론적 프레임워크를 통해 다수의 캐비티 모드에 결합된 d-레벨 원자에 대한 강력한 제어 가능성을 확립한다. 시스템의 동역학을 캐릭터라이즈하는 경로 대수 A₀(Γ)를 도입함으로써, 원자 전이에 대한 국소적 제어를 통해 힐베르트 공간 상의 임의의 유니터리 연산을 임의의 정밀도로 근사할 수 있음을 증명하며, 다항수준의 효과적 차원 증가를 갖는 무한차원 설정에서 보편 양자 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study controllability of a $d$-level atom interacting with the electromagnetic field in a cavity. The system is modelled by an ordered graph $Γ$. The vertices of $Γ$ describe the energy levels and the edges allowed transitions. To each edge of $Γ$ we associate a harmonic oscillator representing one mode of the electromagnetic field. The dynamics of the system (drift) is given by a natural generalization of the Jaynes-Cummings Hamiltonian. If we add in addition sufficient control over the atom, the overall system (atom and em-field) becomes strongly controllable, i.e. each unitary on the system Hilbert space can be approximated with arbitrary precision in the strong topology by control unitaries. A key role in the proof is played by a topological *-algebra which is (roughly speaking) a representation of the path algebra of $Γ$. It contains crucial structural information about the control problem, and is therefore an important tool for the implementation of control tasks like preparing a particular state from the ground state. This is demonstrated by a detailed discussion of different versions of three-level systems.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 힐베르트 공간에서 다수의 캐비티 모드와 상호작용하는 d-레벨 원자의 제어 가능성을 확립하는 것.
• 제이너스-커밍스 모델을 임의의 유한레벨 원자와 다중모드 필드로 일반화하는 것.
• 경로 대수의 구조적 프레임워크—순서가 부여된 그래프의 경로 대수 기반—을 개발하여 양자 제어 작업을 분석하고 구현하는 것.
• 모든 유니터리 제어가 원자 전이의 국소적 조작을 통해 조절 가능함을 입증함으로써, 무한차원 설정에서도 완전한 제어가 가능함을 보여주는 것.
• 다중레벨 원자 시스템과 광자 모드에서 상태 준비 및 최적 제어를 위한 체계적인 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 에너지 준위를 정점으로, 허용된 전기 dipole 전이를 간선으로 하는 순서가 부여된 그래프 Γ를 사용하여 d-레벨 원자와 캐비티 필드의 상호작용을 모델링한다.
• Γ의 각 간선에 대해 전자기장의 별개의 조화 진동자 모드를 할당하여 다중모드 캐비티 시스템을 구성한다.
• 시스템의 동적 구조를 캡처하고 리 대수 기반 제어 분석을 가능하게 하는, Γ의 경로 대수인 위상수학적 *-대수 A₀(Γ)를 정의한다.
• 시스템 해밀토니안의 재귀성과 자기수반성 성질을 이용하여 무한차원에서 잘 정의된 양자 역학적 동역학을 보장한다.
• 대칭성 깨짐 기법과 원자 준위에 대한 유니터리 제어를 적용하여 전체 힐베르트 공간 상에서 임의의 유니터리를 생성한다.
• 경로 대수를 유한 광자 수 부분공간에서 잘라내면, 기존의 지수적 증가 방식과는 달리 차원이 다항식 수준으로 증가함을 보여주며, 이는 효율적인 제어 알고리즘을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 캐비티 모드에 결합된 d-레벨 원자는, 전체 힐베르트 공간 상의 임의의 유니터리 연산을 임의로 정밀도로 근사할 수 있도록 강력하게 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 에너지 준위와 전이를 나타내는 기저 그래프 Γ의 구조가 시스템의 제어 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 경로 대수 A₀(Γ)는 제어 문제를 특성화하고 효과적인 상태 준비를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 경로 대수 구성법을 나무 형태의 그래프를 초월하여 순환을 포함하는 시스템으로 일반화할 수 있으며, 이러한 경우의 구조적 차이는 무엇인가?
• RQ5 그래프 동치성과 관련된 경로 대수의 동형성 사이에 일대일 대응 관계가 존재하는가?

주요 결과

• 시스템은 강력하게 제어 가능하다: 원자 전이에 대한 국소적 제어를 통해 전체 힐베르트 공간 상의 임의의 유니터리 연산을 임의의 정밀도로 근사할 수 있다.
• 경로 대수 A₀(Γ)는 무한차원 양자 제어 문제에 리 이론적 방법을 적용할 수 있도록 하는 핵심적인 대수적 구조를 제공한다.
• 나무 형태의 그래프(예: Γ_C, Γ_V, Γ_Λ)의 경우, 불변 부분공간 H_b의 차원은 유한하며 (≤3), 대칭성 깨짐과 유니터리 제어를 통해 체계적인 상태 준비가 가능하다.
• 반면, 순환을 포함하는 그래프(예: Γ_Δ)의 경우, H_b의 차원은 유 bound없이 증가하며, 더 복잡한 분석이 필요하고 제어 기법의 직접적인 일반화를 제한한다.
• 경로 대수를 유한 광자 수 부분공간에서 잘라내면, 기존의 지수적 증가 방식과는 대조적으로 차원이 다항식 수준으로 증가함을 보여주며, 이는 계산 효율성을 크게 향상시킨다.
• 두 그래프가 동치일 때이고 오직 그 때에만 경로 대수 A₀(Γ)가 동형이 된다. 이는 그래프 위상 구조와 제어 대수 사이에 깊은 구조적 대응 관계가 있음을 시사한다.