[논문 리뷰] Controlling nonlinear PDEs using low-dimensional bilinear approximations obtained from data

Sebastian Peitz|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 18.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 50인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비선형 PDE의 실시간 제어를 위한 데이터 기반 모델 순서 축소 프레임워크를 제안한다. 이는 코프만 연산자 기반 이차 근사에 기반한다. 일정 제어 입력 데이터로부터 유도된 코프만 연산자의 볼록 조합을 통해 저차원 이차 감소 모델을 구성함으로써, 높은 제어 정확도를 유지하면서도 실시간 모델 예측 제어(MPC)를 가능하게 하며, 이는 기존의 전체 차원 유한요소법(FEM) 시뮬레이션 대비 6개 이상의 지수 차수의 속도 향상을 이룬다. 이는 혼돈 영역에서도 성능을 유지한다.

ABSTRACT

In a recent article, we presented a framework to control nonlinear partial differential equations (PDEs) by means of Koopman operator based reduced models and concepts from switched systems. The main idea was to transform a control system into a set of autonomous systems for which the optimal switching sequence has to be computed. These individual systems can be approximated very efficiently by reduced order models obtained from data, and one can guarantee equality of the full and the reduced objective function under certain assumptions. In this article, we extend these results to continuous control inputs using convex combinations of multiple Koopman operators corresponding to constant controls, which results in a bilinear control system. Although equality of the objectives can be carried over when the PDE depends linearly on the control, we show that this approach is also valid in other scenarios using several flow control examples of varying complexity.

연구 동기 및 목표

• 기본 이산화 방법으로는 계산적으로 비현실적인 비선형 PDE에 대한 실시간 제어 문제를 해결한다.
• 복잡한 비선형 역학과 제어 의존성을 포괄하지 못하는 전통적인 감소 모델(ROM)의 한계를 극복한다.
• 실시간 최적 제어를 가능하게 하는 데이터 기반 저차원 이차 근사 모델을 개발한다.
• 일정 제어 입력에 대한 코프만 연산자를 활용하고, 이를 연속 제어 입력에 대해 보간함으로써 학습 데이터 요구량을 최소화한다.
• 제어-아핀 가정 하에 감소된 목적 함수가 전체 차원 목적 함수로 수렴하는 것을 이론적으로 보장하면서도, 비아핀 경우에도 강건성을 입증한다.

제안 방법

• 확장된 동적 모드 분해(EDMD)를 사용하여 여러 일정 제어 입력에서 비선형 PDE 시스템의 코프만 연산자를 근사한다.
• 다양한 일정 제어 입력에 대응하는 코프만 연산자 간 선형 보간을 통해 연속된 제어 입력 표현을 가능하게 하는 이차 감소 모델(K-ROM)을 구성한다.
• 감소된 공간에서 이차 최적 제어 문제로 제어 문제를 재구성함으로써, 표준 수치 방법을 통해 효율적인 해법을 가능하게 한다.
• 유한 예측 수평과 재정의 수평 최적화를 포함하는 모델 예측 제어(MPC) 프레임워크에 K-ROM을 통합한다.
• 상태 및 제어 역학을 코프만 프레임워크 내에서 저차원 관측 기저(예: DMD 또는 반경기저함수)로 표현한다.
• 일정 제어 입력에서의 궤적만을 학습 데이터로 사용함으로써 데이터 효율성을 확보하며, 전체 제어 공간 샘플링 대비 요구되는 데이터셋 크기를 극적으로 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코프만 연산자 기반 감소 모델은 자율 시스템의 볼록 조합을 통해 연속된 제어 입력을 다룰 수 있는가?
• RQ2 이차 근사가 제어-아phin 동역학 하에서 전체 차원 목적 함수의 최적성과 유지되는가?
• RQ3 2D 레이놀즈 수가 높은 경우, 예를 들어 2D 나비에-스토크스 방정식에서 혼돈적 행동을 보이는 비선형 PDE를 제어하는 데에 이 방법은 얼마나 잘 작동하는가?
• RQ4 감소된 공간에서 관측 기저와 기저 함수의 선택이 코프만 ROM의 정확도에 얼마나 영향을 미치는가?
• RQ5 결과로 도출된 이차 ROM은 복잡한 PDE의 실시간 제어를 가능하게 하고, 전체 차원 대비 수십만 배의 속도 향상을 이룰 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 이차 코프만 ROM은 전체 차원 유한요소법(FEM) 시뮬레이션 대비 2D 나비에-스토크스 제어 문제를 해결하는 데에 6개 이상의 지수 차수 속도 향상을 달성한다.
• Re = 100인 유체 핀볼 시스템(준주기적)에서는 그림 7에 나타나 있듯이 매우 우수한 추적 성능과 최소한의 오차를 기록한다.
• Re = 140일 때(약간의 혼돈성), 혼돈적 역학과 ROM 정확도 저하로 인해 제어 오차가 약간 증가하지만, 여전히 만족스러운 성능을 유지한다.
• Re = 200일 때(강한 혼돈성), 비록 관측 기저 크기를 늘려도(예: 1000개의 RBF) 성능 향상이 없었기 때문에, 혼돈성이 주요 오차 원인임을 시사하며, 여전히 합리적인 제어 성능을 유지한다.
• 제어-아핀 시스템에 대해 감소된 목적 함수가 전체 목적 함수로 수렴하는 것을 측도 기반으로 이론적으로 증명하였으며, 비아phin 경우에도 경험적 결과로 강건성을 입증하였다.
• 50,000개 셀, 150,000개 자유도를 가진 PDE를 12차원 이차 시스템으로 감소시킴으로써 실시간 MPC를 가능하게 하여, 복잡한 유체역학 제어의 실용 가능성을 입증하였다.