[논문 리뷰] Convergence analysis for a stabilized linear semi-implicit numerical scheme for the nonlocal Cahn-Hilliard equation

Xiao Li, Zhonghua Qiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 13.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 37인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 가짜스펙트럴 공간 이산화를 사용한 비국소 Cahn–Hilliard 방정식에 적용된 안정화된 선형 반음향 스킴에 대한 수렴 분석을 제시한다. 이산 $H^{-1}$ 노름을 이용한 오차 추정과 고차 일致성 분석 및 역부등식을 조합함으로써, 저자들은 시간에 대해 최적의 일阶 수렴성과 공간에 대해 스펙트럼 정확도를 확립한다. 또한, 안정화 매개수의 개선된 조건 하에 균일한 $\ell^\infty$ 유계성과 에너지 안정성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a detailed convergence analysis for a first order stabilized linear semi-implicit numerical scheme for the nonlocal Cahn-Hilliard equation, which follows from consistency and stability estimates for the numerical error function. Due to the complicated form of the nonlinear term, we adopt the discrete $H^{-1}$ norm for the error function to establish the convergence result. In addition, the energy stability obtained in [Du et al., J. Comput. Phys., 363:39--54, 2018] requires an assumption on the uniform $\ell^\infty$ bound of the numerical solution and such a bound is figured out in this paper by conducting the higher order consistency analysis. Taking the view that the numerical solution is indeed the exact solution with a perturbation, the error function is $\ell^\infty$ bounded uniformly under a loose constraint of the time step size, which then leads to the uniform maximum-norm bound of the numerical solution.

연구 동기 및 목표

• 비국소 Cahn–Hilliard 방정식에 적용된 첫째 단계 안정화 선형 반음향 스킴에 대한 엄밀한 수렴 추정을 확립하기 위해.
• 비국소 Cahn–Hilliard 방정식의 비선형 항으로 인해 발생하는 과제를 이산 $H^{-1}$ 노름을 이용한 오차 분석을 통해 극복하기 위해.
• 고차 일치성 분석과 역부등식을 조합하여 수치 해에 대한 균일한 $ackslashell^\infty$ 유계성을 도출하기 위해.
• 안정화 매개수 $A$에 대한 개선된 조건 하에 스킴의 에너지 안정성을 엄밀히 정당화하기 위해.
• 수치 해의 $ackslashell^\infty$ 유계성을 편미분 방법을 통해 복원함으로써 수렴 분석이 유지되도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 스펙트럼 정확도를 확보하기 위해 푸리에 가짜스펙트럴 공간 이산화를 사용하는 안정화된 선형 반음향 시간 이산화를 채택한다.
• 비선형 항의 복잡성을 직접 다루지 않기 위해 오차 함수를 이산 $H^{-1}$ 노름에서 분석한다.
• 시간 및 공간의 절단 오차를 포괄하기 위해 고차 일치 전개를 사용함으로써 역부등식의 적용을 가능하게 한다.
• 역부등식을 $H^{-1}$ 오차 추정에 적용하여 오차 함수에 대한 $ackslashell^\infty$ 유계성을 유도한다.
• 수치 해를 편미분된 문제의 정확한 해로 간주함으로써, 느슨한 시간 간격 제약 조건 하에 균일한 $ackslashell^\infty$ 유계성을 도출한다.
• 수치 해의 $ackslashell^\infty$ 유계성을 바탕으로 안정화 매개수 $A$에 대한 새로운 하한을 유도함으로써 에너지 안정성 조건을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 Cahn–Hilliard 방정식에 대한 첫째 단계 안정화 선형 반음향 스킴은 완화된 시간 간격 제약 조건 하에 최적의 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 비선형 항을 다룰 때 이산 $H^{-1}$ 노름이 강한 정규성 가정 없이 수렴 분석에서 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ3 고차 일치성 분석은 $ackslashell^\infty$ 노름에서 오차를 유계화하기 위해 역부등식을 사용하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 안정화 매개수 $A$에 대해 어떤 조건에서 스킴의 에너지 안정성이 엄밀히 정당화되는가?
• RQ5 편미분 방법과 일치성 분석을 통해 수치 해의 $ackslashell^\infty$ 유계성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 스킴은 시간에 대해 일阶 수렴성과 공간에 대해 스펙트럼 정확도를 확보하며, 오차 추정식 $\|\hat{e}^{n+1}\|_{-1,N} + \bigl(\gamma_0 \Delta t \sum_{k=1}^{n+1} \|\hat{e}^k\|_2^2\bigr)^{1/2} \leq C^* (\Delta t^3 + h^m)$ 이 성립한다.
• 선형 조정 경로 $\Delta t \leq Ch$ 하에 $h \leq 1/(2C_4 C^*)$ 조건이 만족될 경우, 오차 함수의 $ackslashell^\infty$ 유계성 $\|\hat{e}^{n+1}\|_{\infty} \leq C_4 C^* h$ 가 확립된다.
• 균일한 $ackslashell^\infty$ 유계성이 도출되어, $A$에 대한 개선된 가정 하에 에너지 안정성 조건의 타당성이 보장된다.
• 에너지 안정성 조건이 $A \geq \max\bigl\{ \frac{18M_0^4}{\gamma_0}, \frac{3}{2}M_0^2 - \frac{1}{2} \bigr\}$ 로 개선되었으며, 여기서 $M_0 = 1 + \max_{1 \leq k \leq N_k} \|u_N^k\|_{\infty}$ 이다.
• 각 시간 단계에서 수렴 분석을 완성하기 위해 사전 가정 (68)을 복원함으로써 귀납법의 타당성이 보장된다.
• 이 방법은 저차수 공간 스킴에도 적용 가능하며, 이 경우 공간 절단 오차를 포괄하기 위해 고차 일치성 분석이 필요하다.