[논문 리뷰] Convergence analysis of a Lasserre hierarchy of upper bounds for polynomial minimization on the sphere

Etienne de Klerk, Monique Laurent|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 18.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 22인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 다항식 최소화 문제에 대해 단위 구면 위에서 Lasserre 계층의 상한의 수렴 속도를 분석하며, 임의의 다항식에 대해 오차가 Θ(1/r²)로 감소함을 보이고, 선형 다항식의 경우 이 속도가 최적임을 증명한다. 이 방법은 제곱합 밀도와 준정적 프로그래밍을 이용하며, 고유값 재구성 기반으로 구현되며, 이론적 분석은 구면 조화다항식과 쿠바처 규칙을 활용하여 최적의 수렴 속도를 확립한다.

ABSTRACT

We study the convergence rate of a hierarchy of upper bounds for polynomial minimization problems, proposed by Lasserre [SIAM J. Optim. 21(3) (2011), pp. 864-885], for the special case when the feasible set is the unit (hyper)sphere. The upper bound at level r of the hierarchy is defined as the minimal expected value of the polynomial over all probability distributions on the sphere, when the probability density function is a sum-of-squares polynomial of degree at most 2r with respect to the surface measure. We show that the exact rate of convergence is Theta(1/r^2), and explore the implications for the related rate of convergence for the generalized problem of moments on the sphere.

연구 동기 및 목표

• 단위 구면 위에서 다항식 최소화 문제에 대한 Lasserre 계층의 상한의 수렴 속도를 분석하는 것.
• 계층 내 상한의 정확한 최악의 수렴 속도를 확립하는 것.
• 비영인 선형 다항식에 대해 O(1/r²) 수렴 속도가 최적임을 보여주는 것.
• 구면 위의 일반화된 모멘트 문제(GPM)에 대한 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 레벨 r에서의 상한은 차수 2r 이하의 제곱합 밀도를 가진 확률 측도 위에서 다항식의 최소 기대값으로 정의된다.
• 제곱합이 고유값 특성화를 갖는다는 사실을 이용해 문제를 준정적 프로그래밍으로 재구성한다.
• 테일러 전개를 통해 일반적인 다항식의 경우를 선형의 경우로 환원한다.
• 선형 다항식의 경우, 수렴 속도는 구면 조화다항식과 구면 위의 쿠바처 규칙 간의 연결을 통해 분석된다.
• 최적성 결과는 알려진 가우스-레지앙드르 구분법 노드와 재귀행렬의 고유값의 渐近적 성질에 기반한다.
• 정규직교다항식의 성질과 구면 위의 표면 측도를 이용하여 이론적 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 구면 위에서 다항식 최소화 문제에 대한 Lasserre 계층의 상한의 정확한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 O(1/r²) 수렴 속도는 어떤 다항식 클래스에 대해 최적인가?
• RQ3 상한의 수렴 속도는 구면 위의 일반화된 모멘트 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 특정 다항식 클래스에 대해 수렴 속도를 더 개선하거나 정밀하게 기술할 수 있는가?
• RQ5 Lasserre 상한과 구면 위의 쿠바처 규칙 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 구면 위에서 Lasserre 계층의 상한의 수렴 속도는 임의의 다항식 f에 대해 O(1/r²)이다.
• 이 속도는 최적이다: 임의의 비영인 선형 다항식 f에 대해 오차 f^(r) - f_min = Ω(1/r²)를 만족한다.
• 구면 위의 일반화된 모멘트 문제(GPM)에 대한 수렴 속도는 O(1/r)이며, 다항식 최소화 문제의 O(1/r²) 수렴 속도보다 더 약하다.
• 구면 위의 유리함수 최소화 문제에 대해서도 상한 계층은 O(1/r²) 속도로 수렴하며, 다항식의 경우와 동일하다.
• 계층 내 최적의 밀도 함수는 r이 증가함에 따라 전역 최소화점을 중심으로 질량이 집중되며, 더 큰 r에 대해 모드가 최소화점과 일치한다.
• 분석은 Lasserre 상한과 구면 쿠바처 규칙 간의 연결에 기반하며, 가우스-레지앙드르 노드의 渐近적 결과를 활용하여 최적성의 증명을 한다.