[논문 리뷰] Convergence Analysis of A Second-order Semi-implicit Projection Method for Landau-Lifshitz Equation

Jingrun Chen, Cheng Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 26.

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랑두-리프시츠 방정식에 대해 제2차 후진차분공식(BDF2)과 한쪽 방향 외삽을 사용한 제2차 반음향적 투영 방법을 제안하며, 자화 길이를 유지하기 위해 투영 단계를 통합한다. 이 방법은 시간과 공간에서 조건부 안정성 없이 제2차 수렴성을 확립하였고, 시간-스텝 제약 없이 유일한 해 존재성을 증명하였다. 이는 마이크로자기모형에 대해 이러한 결과를 처음으로 이룬다.

ABSTRACT

The numerical approximation for the Landau-Lifshitz equation, the dynamics of magnetization in a ferromagnetic material, is taken into consideration. This highly nonlinear equation, with a non-convex constraint, has several equivalent forms, and involves solving an auxiliary problem in the infinite domain. All these features have posed interesting challenges in developing numerical methods. In this paper, we first present a fully discrete semi-implicit method for solving the Landau-Lifshitz equation based on the second-order backward differentiation formula and the one-sided extrapolation (using previous time-step numerical values). A projection step is further used to preserve the length of the magnetization. Subsequently, we provide a rigorous convergence analysis for the fully discrete numerical solution, with second-order accuracy in both time and space, provided that the spatial step-size is the same order as the temporal step-size. And also, the unique solvability of the numerical solution is theoretically justified, which turns out to be the first such result for the micromagnetics model. All these theoretical properties are verified by numerical examples in both one- and three- dimensional spaces.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 제약 조건과 무한도메인 보조 문제를 포함한 매우 비선형적인 시스템인 랑두-리프시츠 방정식을 위한 강력한 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 시간-스텝 조건이 철저히 제한되는 암시적 스킴의 한계를 극복하기 위해, 예를 들어 $k = \mathcal{O}(h^2)$와 같은 조건을 피하기 위해.
• 시간과 공간에서 제2차 정확도를 확보하면서도 조건부 안정성과 수치해의 유일한 존재성을 보장하기 위해.
• 오차 함수에 대한 두 종류의 근사해와 선형화된 안정성 분석을 사용한 엄밀한 수렴성 분석을 제공하기 위해.
• 1D 및 3D 도메인에서의 수치 실험을 통해 방법의 타당성을 검증하기 위해, 도메인 월 다이내믹스 포함.

제안 방법

• 시간 이산화에 제2차 후진차분공식(BDF2)을 사용한 완전 이산화 반음향적 스킴을 구성한다.
• 오른쪽 항의 비선형 계수를 이전 시간단계의 값을 사용한 한쪽 방향 외삽을 통해 선형화한다.
• 각 시간단계에서 자화 길이 제약 조건 $|\mathbf{m}| = 1$ 를 만족시키기 위해 투영 단계를 적용한다. 이는 자화 크기를 유지한다.
• 균일한 메쉬 간격을 사용한 유한차분 공간 이산화를 적용한다.
• 오차를 극복하기 위해 두 종류의 보조 근사해를 사용한 엄밀한 수렴성 분석을 수행하며, 특히 투영 단계에서의 $W_h^{1,\infty}$ 추정치에 중점을 둔다.
• 선형화된 시스템의 단조성 분석을 통해 시간-스텝 또는 공간-스텝 크기 제약 없이 유일한 해 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랑두-리프시츠 방정식에 대해 제한적인 시간-스텝 조건을 피하는 제2차 반음향적 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 이 문제에 대해 시간과 공간에서 조건부 안정성 없이 제2차 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 특히 마이크로자기모형에 대해 시간-스텝 또는 공간-스텝 크기 제약 없이 수치해의 유일한 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 도메인 월 운동과 같은 복잡한 자화 다이내믹스를 시뮬레이션할 때 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 투영 단계에서의 $W_h^{1,\infty}$ 오차 추정치는 수렴성 분석에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 수치 실험을 통해 시간과 공간에서 제2차 수렴성을 확인하였으며, $L^\infty$ 노름에서 약 1.92의 수렴 차수를 보였다.
• 조건부 안정성이 수치적으로 검증됨: 시간 스텝 $k$ 를 공간 스텝 $h$ 에 비해 크게 증가시켜도 오차가 유한하게 유지됨을 표 6에서 확인함.
• 시간-스텝 또는 공간-스텝 크기 제약 없이 수치해의 유일한 존재성이 엄밀히 증명되었으며, 마이크로자기모형에 대해 이는 최초의 결과이다.
• 이 방법은 자성 나노스트립에서 횡방향 도메인 월의 다이내믹스를 성공적으로 캡처하였으며, 외부 자기장 50 Oe 조건에서 255 m/s 속도로 안정적인 운동을 보였고, 프로파일은 일정하게 유지됨.
• 투영 단계는 자화 길이를 효과적으로 유지하였으며, 그림 4의 시각화 결과는 $k=1/256$ 및 $h=1/32$ 조건에서 정확한 해와 수치해 사이의 밀접한 일치를 보여줌.
• 수렴성 분석은 투영 단계에서의 오차에 대한 $W_h^{1,\infty}$ 추정치에 의해 결정되며, 이는 안정성 분석에서 최적의 오차 경계를 가능하게 한다.