[논문 리뷰] Convergence in distribution norms in the CLT for non identical distributed random variables

Vlad Bally, Lucia Caramellino외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 06.

Random Matrices and Applications참고 문헌 35인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 독립적이지만 동일분포가 아닌 랜덤 변수들에 대해 도블린 유형의 정규성 조건을 만족할 때 중심극한정리(CLT)의 분포 노름 수렴를 확립한다. 말리아빈 미분법과 부분적분 공식을 활용하여 시험 함수의 도함수에 대한 오차의 명시적 상한을 도출함으로써, 불변성 원리, 소구간 확률, 랜덤 삼각다항식의 근 개수 계산 등 응용 가능성을 제공한다. 주요 기여는 합의 분포가 밀도를 갖지 않을 수 있는 경우에도 고차 도함수를 정규성 조건으로 제어함으로써 분포 노름에서 개선된 CLT 오차 추정을 가능하게 한 것이다.

ABSTRACT

We study the convergence in distribution norms in the Central Limit Theorem for non identical distributed random variables that is $$ \\varepsilon_{n}(f):={\\mathbb{E}}\\Big(f\\Big(\\frac 1{\\sqrt n}\\sum_{i=1}^{n}Z_{i}\\Big)\\Big)-{\\mathbb{E}}\\big(f(G)\\big)\ ightarrow 0 $$ where $Z_{i}$ are centred independent random variables and $G$ is a Gaussian random variable. We also consider local developments (Edgeworth expansion). This kind of results is well understood in the case of smooth test functions $f$. If one deals with measurable and bounded test functions (convergence in total variation distance), a well known theorem due to Prohorov shows that some regularity condition for the law of the random variables $Z_{i}$, $i\\in {\\mathbb{N}}$, on hand is needed. Essentially, one needs that the law of $ Z_{i}$ is locally lower bounded by the Lebesgue measure (Doeblin's condition). This topic is also widely discussed in the literature. Our main contribution is to discuss convergence in distribution norms, that is to replace the test function $f$ by some derivative $\\partial_{\\alpha }f$ and to obtain upper bounds for $\\varepsilon_{n}(\\partial_{\\alpha }f)$ in terms of the infinite norm of $f$. Some applications are also discussed: an invariance principle for the occupation time for random walks, small balls estimates and expected value of the number of roots of trigonometric polynomials with random coefficients.

연구 동기 및 목표

• 비동일분포이거나 밀도를 갖지 않을 수 있는 합성항에 대해 CLT의 분포 노름 수렴을 확립하기 위해.
• 시험 함수의 정규성 수준이 낮은 경우, 특히 유계 가측 함수에 대해 고전적 CLT 및 에드워드 확장 결과를 일반화하기 위해.
• 시험 함수의 도함수에 대한 정량적 오차 상한을 제공하기 위해, 단지 상한 노름(‖f‖∞)이 아닌 도함수의 노름에 기반한 오차 상한을 도출하기 위해.
• 점유 시간 불변성 원리, 소구간 확률, 랜덤 삼각다항식의 기대 근 개수와 같은 응용을 위한 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존의 전체 변동 거리 및 엔트로피 거리 수렴 결과를 통합 및 일반화하기 위해, 분포 노름을 통한 새로운 오차 제어 메커니즘을 도입하기 위해.

제안 방법

• 비스무스 시험 함수에 대한 CLT 오차를 제어하기 위해 추상적 말리아빈 미분법과 부분적분 공식을 활용한다.
• 파라메트릭스 기법을 영감으로 삼은 마코프 반군에 대한 린데베르그 방법을 적용하여 오차 추정을 유도한다.
• 넘멜린의 분해 기법을 활용해 합성항을 분해하고 말리아빈 미분법 프레임워크에 필요한 충분한 정규성을 확보한다.
• 계수를 헤르미트 다항식의 선형 조합으로 표현함으로써 차수 N까지의 에드워드형 전개를 명시적으로 도출한다.
• 시험 함수 f를 그 도함수 ∂αf로 대체하여 분포 노름을 도입하고, 오차 εn(∂αf)를 ‖f‖∞에 대한 상한으로 제어한다.
• 정규성 조건(Doeblin 조건)과 말리아빈 행렬 추정을 통해 정규화된 합의 밀도 도함수에 대한 상한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비동일분포인 합성항과 원점이 존재할 수 있는 극한 분포를 가질 경우, 고전적 CLT 오차가 시험 함수의 도함수에 대해 유계로 제어될 수 있는가?
• RQ2 합성항이 도블린 조건을 만족하지만 절대연속적이지 않을 경우, CLT의 분포 노름 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 말리아빈 미분법과 부분적분을 활용해 비스무스 시험 함수에 대한 에드워드 전개를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 이러한 분포 노름 상한이 점유 시간 및 랜덤 삼각다항식과 같은 확률과정에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 도블린 유형의 정규성 조건 하에서 분포 노름 추정으로부터 전체 변동 거리 수렴을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 비i.i.d. 합성항이 도블린 조건을 만족할 경우, 유계 시험 함수의 도함수에 대해 CLT 오차가 C(Y)/√n 이하로 유계로 제어됨을 증명함. 여기서 C(Y)는 합성항의 모멘트와 정규성에 의존한다.
• 차수 N까지의 에드워드 전개에 대해 오차는 CN / n^{(N+1)/2} ‖f‖_{b_N,∞} 이하로 유계로 제어되며, 계수는 헤르미트 다항식의 조합으로 명시적으로 표현됨.
• 합성항이 i.i.d. 이며 도블린 조건을 만족할 경우, 전체 변동 거리 수렴이 보장됨. 이는 프로호로프 정리를 비i.i.i.d. 설정으로 확장한 결과이다.
• 저자들은 분포 노름 오차 제어를 통해 랜덤 워크의 점유 시간에 대한 새로운 불변성 원리를 도출한다.
• 소구간 확률은 분포 노름 프레임워크를 활용하여 추정되며, 이는 합성항의 정규성에 의존하는 상한을 제공한다.
• i.i.d. 계수를 가진 랜덤 삼각다항식의 실근 기대 개수는 분포 노름 오차 제어를 통해 불변성 원리에 따라 만족됨을 보였다.