[논문 리뷰] Convergence in variation of solutions of nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations to stationary measures

В. И. Богачев, Michael Röckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 계수들이 무한대에서 임의의 성장을 보일 수 있고, 해에 비선형적으로 의존하는 유계가 아닌 불연속 컨볼루션 커널을 통해 의존할 경우에도 비선형 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 해가 정적 측도로 지수 수렴하는 충분조건을 확립한다. 핵심 결과는 가중 총변동에 대한 유계이자: \|W\cdot(\mu_t - \mu)\|_{TV} \leq \alpha_1 e^{-\alpha_2 t}, 이며, 이는 라플라스 유형 조건과 비선형성에 대한 연속성 가정 하에 유일한 정적 측도로의 지수 수렴을 보장한다.

ABSTRACT

We study convergence in variation of probability solutions of nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations to stationary solutions. We obtain sufficient conditions for the exponential convergence of solutions to the stationary solution in case of coefficients that can have an arbitrary growth at infinity and depend on the solutions through convolutions with unbounded discontinuous kernels. In addition, we study a more difficult case where the nonlinear equation has several stationary solutions and convergence to a stationary solution depends on initial data. Finally, we obtain sufficient conditions for solvability of nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equations.

연구 동기 및 목표

• 비선형 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 해가 정적 측도로 총변동 노름에서 지수 수렴하는 충분조건을 확립하는 것.
• 여러 정적 해가 존재할 경우 수렴이 초깃값에 어떻게 의존하는지 분석하고, 평균과 같은 불변 양에 따라 의존함을 보여주는 것.
• 계수의 약한 정규성과 유계성 조건을 약화시킨 상황에서 비선형 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 해법 결과를 확장하는 것.
• 무한대에서 성장하거나 무한대 가중 함수를 허용하는 가중 총변동 노름을 포함하는 수렴 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 해의 성장을 통제하고 적분 가능성을 보장하기 위해 $ L_\mu V \leq C_1 - C_2 V $ 를 만족하는 라플라스 함수 $ V $ 를 사용한다.
• 진동 $ b(x,\mu) $ 에 대한 조건을 부과한다: $ V^{1/2 - \gamma} $ 에 대해 유계이며, $ \|\cdot\|_W $ 가중 노름에 대해 $ \mu $ 에 대해 연속적이다.
• 해가 $[0,\infty)$ 에서 존재함을 보이기 위해 $ L^1 $-적분 가능 밀도의 볼록이고 컴act한 부분집합에서 샤우더 고정점 정리를 적용한다.
• 시간에 따라 변화하는 라플라스 함수 $ \alpha(t) $ 를 $ \int_{\alpha_0}^{\alpha(t)} du / N_1(u) = t $ 로 정의하여 일관된 모멘트 유계를 확보한다.
• 테스트 함수가 $ C_0^\infty(\mathbb{R}^d) $ 에 속할 경우 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 적분 표현을 적용하여 약한 해 성질을 보장한다.
• 해의 반응군이 가중 총변동 노름에서 수축함을 보여, 지수 감쇠율 $ \alpha_2 $ 을 통해 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식의 해가 총변동 노름에서 정적 측도로 지수 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 여러 정적 해가 존재할 경우 수렴 행동은 초깃값에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비선형 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식에 대해, 유계가 아니거나 불연속적인 진동 커널을 가진 경우 정적 해가 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 진동 계수의 성장이 무한대에서 임의로 가능하고, 해에 비선형적으로 컨볼루션을 통해 의존할 경우에도 지수 수렴을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 라플라스 및 연속성 조건 하에 가중 총변동 노름에서 지수 수렴이 확립된다: $ \|W\cdot(\mu_t - \mu)\|_{TV} \leq \alpha_1 e^{-\alpha_2 t} $, 여기서 $ \alpha_1, \alpha_2 > 0 $ 이다.
• 정적 해 $ \mu $ 는 $ \int V \, d\mu \leq C_1 / C_2 $ 를 만족하며, 이는 라플라스 함수 $ V $ 에서의 적분 가능성과 안정성을 보장한다.
• 모든 초깃값 측도 $ \nu \in \mathcal{P}_V(\mathbb{R}^d) $ 에 대해 $[0, \infty)$ 에서의 유일한 전역 해 $ \mu_t $ 가 존재하며, 모든 $ T > 0 $ 에 대해 $ \sup_{t \in [0,T]} \int V \, d\mu_t < \infty $ 를 만족한다.
• 계수의 소규모 변화에 대해 수렴이 안정적이지 않다; 예를 들어 $ \varepsilon = 1 $ 인 경우에 작은 상수 $ \delta > 0 $ 을 진동에 더하면 정적 해의 존재가 파괴될 수 있다.
• 여러 정적 해가 존재할 경우 (예: 오르누이즈-울렌베르크 예제의 $ \varepsilon = 1 $ 경우), 수렴은 평균과 같은 초깃값의 불변 양에 따라 달라진다.
• 시간에 따라 변화하는 라플라스 함수 $ \alpha(t) $ 가 전역적으로 정의되기 위해 $ \int_0^\infty du / N_1(u) = \infty $ 를 만족할 경우, 초기값 문제의 해법이 보장된다.