[논문 리뷰] Convergence in Wasserstein Distance for Empirical Measures of Dirichlet Diffusion Processes on Manifolds

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 19.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 컴acts Riemannian 다양체 위에서 Dirichlet 확산 과정의 경험 측도에 대한 Wasserstein 거리에서 수렴 속도를 확립한다. 예측된 제곱 Wasserstein 거리 $\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2$ 는 $d \leq 3$ 에서 $t^{-1}$ 속도로 감소하며, $d=4$ 에서는 $t^{-1}\log t$ 로, $d \geq 5$ 에서는 $t^{-2/(d-2)}$ 로 감소한다. 이는 생성자 $L = \Delta + \nabla V$ 의 Dirichlet 고유값을 포함한 날카운 bounds 를 포함한다. 수렴 속도는 경계에 완전히 지지되지 않는 초기 분포에 대해 일관되며, 경계가 볼록일 경우 상수 $c=1$ 이 성립한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a $d$-dimensional connected compact Riemannian manifold with boundary $\partial M$, let $V\in C^2(M)$ such that $μ({ m d} x):={ m e}^{V(x)}{ m d} x$ is a probability measure, and let $X_t$ be the diffusion process generated by $L:=Δ+ abla V$ with $τ:=\inf\{t\ge 0: X_t\in\partial M\}$. Consider the empirical measure $μ_t:=\frac 1 t \int_0^t δ_{X_s}{ m d} s$ under the condition $t

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 컴acts Riemannian 다양체 위에서 Dirichlet 확산 과정에 대해 경험 측도 $\mu_t = \frac{1}{t}\int_0^t \delta_{X_s}ds$ 의 수렴 속도를 분석하는 것.
• $\mu_0 = \phi_0^2 \mu$ 가 불변 측도일 때, $t \to \infty$ 일 때 $\mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid t < \tau]$ 의 渐近적 행동을 규명하는 것.
• $L = \Delta + \nabla V$ 의 Dirichlet 고유값 $\lambda_m$ 에 따라 차원 의존적 감소 속도와 날카운 bounds 를 수립하는 것.
• 경계 기하학, 특히 볼록성의 역할이 수렴 속도 상수를 어떻게 향상시키는지 조사하는 것.

제안 방법

• 생성자 $L = \Delta + \nabla V$ 와 그 Dirichlet 고유값 $\lambda_m$ 의 스펙트럼 이론을 사용하며, 첫 번째 고유함수 $\phi_0$ 에 대해 $\mu_0 = \phi_0^2 \mu$ 를 사용한다.
• Kantorovich 쌍대 공식과 $\mathbb{W}_2^2$ 의 볼록성을 적용하여 경험 측도와 불변 측도 사이의 Wasserstein 거리를 bound 한다.
• 도달 시간 $\tau = \inf\{t \geq 0 : X_t \in \partial M\}$ 에 조건을 두고, 커플링과 모멘트 추정을 통해 bound 를 유도한다.
• 과정 $X_t^0$ 은 $L_0 = L + 2\nabla \log \phi$ 에 의해 생성되며, $T \to \infty$ 일 때 $T < \tau$ 를 조건으로 한 조건부 분포의 약한 극한으로 나타난다.
• 핵심 추정은 반응반복 $P_t^D$ 와 그 감쇠 $P_t^D 1 \leq c_1 e^{-\lambda_0 t}$ 를 포함하며, $\mathbb{E}^\nu[\rho(X_{t_i}, X_s)^2 \mid T < \tau] \leq c(s - t_i)$ 를 위한 bound 도 포함된다.
• 경험 측도의 이산화 $\mu_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \delta_{X_{t_i}}$ 는 알려진 $\mathbb{W}_1$-bound 를 적용할 수 있게 하여, 차원 의존적 감소 속도를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 컴acts 다양체 위에서 Dirichlet 확산 과정에 대해 $\mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid t < \tau]$ 의 渐近적 감소 속도는 무엇인가?
• RQ2 다양체의 차원 $d$ 는 $\mathbb{W}_2$ 거리에서 경험 측도의 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 $-L$ 의 Dirichlet 고유값 $\lambda_m$ 에 따라 수렴 속도를 상하한으로 bound 할 수 있는가?
• RQ4 경계의 볼록성이 수렴 속도 상수를 1로 날카롭게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 조건부 경험 측도의 행동은 조건부가 아닌 경우와 $\mathbb{W}_2$ 수렴 측면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• $d \leq 3$ 에서 $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau]$ 는 존재하며, $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ 와 같다. 이 값은 유한하다.
• 경계 $\partial M$ 가 볼록일 경우, 수렴 속도 상수는 날카로우며 $c = 1$ 이므로, 극한 값은 정확히 $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ 와 같다.
• $d = 4$ 에서는 감소 속도가 $\sup_{T \geq t} \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau] \leq c t^{-1} \log t$ 를 만족하며, 어떤 $c > 0$ 에 대해 성립한다.
• $d \geq 5$ 에서는 감소 속도가 $\Theta(t^{-2/(d-2)})$ 이며, 어떤 $c > 1$ 에 대해 $c^{-1} t^{-2/(d-2)} \leq \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau] \leq c t^{-2/(d-2)}$ 를 만족한다.
• 조건부 예측이 Wasserstein 거리 내부에 위치하기 때문에, 조건부 측도 $\mu_t^\nu = \mathbb{E}^\nu[\mu_t \mid t < \tau]$ 에서 관찰된 $t^{-2}$ 속도보다 수렴 속도가 느리다.
• 상한 $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ 는 $d \leq 3$ 일 때에만 유한하며, 이는 수렴 행동에서의 차원 임계값을 설명한다.