[논문 리뷰] Convergence of an Euler discretisation scheme for the Heston stochastic-local volatility model with CIR interest rates

Andrei Cozma, Christoph Reisinger|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 24.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 외환 시장에서 Heston-CIR 스토크래틱-로컬 볼라티리티 모델에 대한 완전 절삭(Euler) 스킴을 제안하며, 전체 상관관계 및 현실적인 레버리지 함수 가정 하에 환율 근사치의 강한 수렴성과 제곱근 과정의 지수적 적분 가능성을 증명한다. 주요 기여는 바닐라 및 경로에 의존하는 옵션에 대한 몬테카를로 추정치의 엄밀한 수렴성이다.

ABSTRACT

We consider the Heston-CIR stochastic-local volatility model in the context of foreign exchange markets, which contains both a stochastic and a local volatility component for the exchange rate combined with the Cox-Ingersoll-Ross dynamics for the domestic and foreign interest rates. We study a full truncation scheme for simulating the stochastic volatility component and the two interest rates and derive the exponential integrability of full truncation Euler approximations for the square root process. Under a full correlation structure and a realistic set of assumptions on the so-called leverage function, we prove strong convergence of the exchange rate approximations and then deduce the convergence of Monte Carlo estimators for a number of vanilla and path-dependent options.

연구 동기 및 목표

• 외환 시장에서 Heston-CIR 스토크래틱-로컬 볼라티리티 모델에 대한 Euler 이산화 스킴의 강한 수렴성을 확립한다.
• 스토크래틱 볼라티리티와 금리에 대한 제곱근 과정에 대한 완전 절삭 Euler 근사치의 지수적 적분 가능성을 분석한다.
• 전체 상관관계 구조 하에서 바닐라 및 경로에 의존하는 옵션에 대한 몬테카를로 추정치의 수렴성을 검증한다.
• 스토크래틱 볼라티리티, 로컬 볼라티리티, CIR 금리가 포함된 모델에서 수치적 가격 설정에 대한 엄밀한 수학적 기초를 제공한다.
• 기존의 수렴 결과를 현실적인 레버리지 함수와 모든 스토크래틱 드라이버 간의 전체 상관관계를 고려한 모델로 확장한다.

제안 방법

• CIR 역학에 따라 제어되는 스토크래틱 볼라티리티 및 두 금리 과정에 대해 완전 절삭 Euler 스킴을 적용하여 이산화한다.
• 제곱근 과정에 대한 완전 절삭 Euler 근사치의 지수적 적분 가능성을 확립하며, 이는 수렴성에 대한 핵심 기술적 조건이다.
• 환율, 스토크래틱 볼라티리티, 그리고 국내외 금리 간에 전체 상관관계를 도입한다.
• 스킴의 안정성과 수렴성을 보장하기 위해 레버리지 함수에 대한 현실적인 가정을 설정한다.
• 환율 근사치의 강한 수렴성을 바탕으로 옵션 가격에 대한 몬테카를로 추정치의 수렴성을 유도한다.
• 이토 미적분과 모멘트 경계를 사용하여 이산화 오차를 분석하고, 지정된 조건 하에서 경로 기반 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로컬 볼라티리티와 상관관계 있는 스토크래틱 드라이버를 가진 Heston-CIR 모델에서 완전 절삭 Euler 스킴이 강하게 수렴하는가?
• RQ2 CIR 과정에 대한 완전 절삭 Euler 근사치의 지수적 적분 가능성을 보장하기 위한 레버리지 함수에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 전체 상관관계 하에서 바닐라 및 경로에 의존하는 옵션에 대한 몬테카를로 추정치의 수렴성을 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ4 완전 절삭 스킴은 CIR 금리 및 분산 과정의 양수성과 안정성을 어떻게 유지하는가?
• RQ5 상관관계 구조는 스킴의 수렴 속도와 수치적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 완전 절삭 Euler 스킴은 전체 상관관계 구조와 현실적인 레버리지 함수 가정 하에서 환율 근사치의 강한 수렴성을 보장한다.
• CIR 과정에 대한 완전 절삭 Euler 근사치의 지수적 적분 가능성이 엄밀히 증명되었으며, 이는 모멘트 제어 및 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 바닐라 및 경로에 의존하는 옵션에 대한 몬테카를로 추정치의 수렴성은 환율 근사치의 강한 수렴성에서 유도된다.
• 완전 절삭 기법을 통해 금리 및 분산 과정의 수치적 안정성과 양수성을 유지한다.
• 이론적 프레임워크는 전체 상관관계 조건 하에서도 Heston-CIR 모델에 대한 신뢰할 수 있는 옵션 가격 설정을 지원한다.
• 결과적으로 Euler 스킴의 적용 가능성을 다중 스토크래틱 구성요소와 현실적인 역학을 가진 복잡한 FX 모델로 확장한다.