[논문 리뷰] Convergence of clock processes on infinite graphs and aging in Bouchaud's asymmetric trap model on ${\Bbb Z}^d$

Véronique Gayrard, Adéla Švejda|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Durrett와 Resnick의 방법을 활용하여 무한 그래프 위의 무작위 환경에서 시계 과정의 수렴에 대한 일반적인 기준을 수립하며, $ℚ^d$에서 Bouchaud의 비대칭 트랩 모델이 모든 $d \geq 2$에서 정규 노화를 보임을 증명한다. 이는 두 시간 상관 함수가 아크사인 법칙으로 수렴함을 의미한다. 분수형 운동 과정 또한 노화를 보임이 입증된다.

ABSTRACT

Using a method developed by Durrett and Resnick [22] we establish general criteria for the convergence of properly rescaled clock processes of random dynamics in random environments on infinite graphs. This complements the results of [26], [19], and [20]: put together these results provide a unified framework for proving convergence of clock processes. As a first application we prove that Bouchaud's asymmetric trap model on ${\Bbb Z}^d$ exhibits a normal aging behavior for all $d\geq 2$. Namely, we show that certain two-time correlation functions, among which the classical probability to find the process at the same site at two time points, converge, as the age of the process diverges, to the distribution function of the arcsine law. As a byproduct we prove that the fractional kinetics process ages.

연구 동기 및 목표

• 무한 그래프 위의 무작위 환경에서 시계 과정의 수렴에 대한 일반 기준을 개발한다.
• 기존의 트랩 모델에서의 노화 결과를 $d \geq 2$의 전체 차원 범위로 확장한다.
• 이전의 확률적 결과에 비해 거의 확실한 수렴을 확보하기 위해 시계 과정의 거의 확실한 수렴을 확립한다.
• 분수형 운동 과정이 노화 행동을 보임을 입증한다.
• 시계 과정의 수렴을 통해 노화와 비정상적 확산의 이론적 프레임워크를 통합한다.

제안 방법

• 무한 그래프에서의 시계 과정에 대한 수렴 기준을 유도하기 위해, 종속된 랜덤 변수에 대한 Durrett-Resnick 방법을 적응한다.
• 무작위 환경에서의 역보존 시간과 점프 비율을 통해 정의된 이산 및 연속 시간 시계 과정을 분석한다.
• 첫 번째 통과 및 복귀 확률을 제어하기 위해 브라운 운동과의 커플링 및 퇴출 시간 추정을 사용한다.
• 강한 마코프 성질과 그린 함수의 모멘트 한계를 적용하여 도달 시간의 꼬리 확률을 제어한다.
• 차원 $d=2$와 $d \geq 3$에 대해 척도에 따라 변하는 추정을 사용하며, 로그적 감쇠와 멱법 감쇠를 구분한다.
• 서브가우시안 및 서브웨이불 꼬리 추정을 통해 위치 방문 횟수의 모멘트 한계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 그래프 위의 마코프 점프 과정에서 시계 과정이 안정적 하위조정자로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Bouchaud의 비대칭 트랩 모델이 $ℚ^d$에서 모든 $d \geq 2$에서 정규 노화를 보이는가?
• RQ3 두 시간 상관 함수가 아크사인 법칙으로 수렴하는 것이 확률적 수렴이 아니라 거의 확실한 수렴으로도 확립될 수 있는가?
• RQ4 트랩 모델에서 유도된 분수형 운동 과정은 노화 행동을 보이는가?
• RQ5 첫 번째 도달 시간과 위치 방문 횟수의 점점 큰 행동은 차원 $d$에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 모든 $d \geq 2$에 대해, $ℚ^d$에서 Bouchaud의 비대칭 트랩 모델의 시계 과정은 적절한 스케일링 후 거의 확실히 안정적 하위조정자로 수렴한다.
• 두 시간에 같은 위치로 복귀할 확률에 대한 두 시간 상관 함수는 과정의 나이가 무한해질수록 아크사인 법칙으로 수렴한다.
• 클래식한 노화 행동—즉, 아크사인 분포로 수렴하는 것—이 확률적 수렴이 아니라 거의 확실한 수렴으로 성립한다.
• 모델에서 유도된 분수형 운동 과정이 노화를 보임이 입증되어, 이 과정이 비정상적 확산 성질을 가짐을 확인한다.
• 그린 함수 추정과 퇴출 시간의 지수 꼬리 제어를 통해 위치 방문 횟수의 모멘트 한계가 확립된다.
• 차원 $d=2$에서는 그린 함수와 도달 시간 추정에서 로그 보정 항이 꼬리 행동을 제어하고 수렴을 보장하는 데 필수적이다.