[논문 리뷰] Convergence of densities of some functionals of Gaussian processes

Yaozhong Hu, Fei Lu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 27.

Probability and Risk Models참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 밀리빈 미분법과 스텐의 방법을 이용하여 가우시안 과정의 함수형의 밀도가 정규 밀도로 일양 수렴함을 확립한다. 제수 위erner 체의 다중 스토케스티크 적분의 밀도와 정규 밀도 사이의 균일 거리에 대한 명시적 상한을 제공하며, 밀리빈 도함수의 음의 모멘트를 포함한 비퇴도 조건 하에서, 상한은 $\sqrt{\mathbb{E}[F^4] - 3\sigma^4}$에 비례한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish the uniform convergence of the densities of a sequence of random variables, which are functionals of an underlying Gaussian process, to a normal density. Precise estimates for the uniform distance are derived by using the techniques of Malliavin calculus, combined with Stein's method for normal approximation. We need to assume some non-degeneracy conditions. First, the study is focused on random variables in a fixed Wiener chaos, and later, the results are extended to the uniform convergence of the derivatives of the densities and to the case of random vectors in some fixed chaos, which are uniformly non-degenerate in the sense of Malliavin calculus. Explicit upper bounds for the uniform norm are obtained for random variables in the second Wiener chaos, and an application to the convergence of densities of the least square estimator for the drift parameter in Ornstein-Uhlenbeck processes is discussed.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 과정의 함수형 수열의 밀도가 정규 밀도로 일양 수렴함을 확립하기.
• 고정된 위erner 체에 속한 랜덤 변수의 밀도와 정규 밀도 사이의 균일 거리에 대한 명시적 정량적 상한을 도출하기.
• 밀리빈 비퇴도 조건 하에서 위erner 체 내 랜덤 벡터에 대해 밀도의 고차 도함수로의 분석을 확장하기.
• 오르누슈타인-울렌벡 과정에서의 매개변수 추정, 특히 최소 제곱 추정량에 결과를 적용하기.

제안 방법

• 적분 by parts를 이용해 다중 스토케스티크 적분 $F = I_q(f)$의 밀도를 표현하기 위해 밀리빈 미분법을 활용: $f_F(x) = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{F>x\}} q\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-2}F] - \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{F>x\}} \langle DF, D(\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-2}) \rangle_{\mathfrak{H}}]$.
• 정규 근사 오차를 제어하기 위해 스텐의 방법을 적용하여 차이 $|\mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{F>x\}}F] - \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{N>x\}}N]|$를 추정하기.
• 횔더 부등식과 반복 도함수 $\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-2}$의 모멘트 추정을 사용하며, $\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-6}] < \infty$를 가정한다.
• 밀도의 $m$번째 도함수에 대한 상한을 도출하기 위해 $\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-\beta}] < \infty$ 조건을 요구하며, $\beta > 6m + 6(\lfloor m/2 \rfloor \vee 1)$이다.
• 벡터값 함수형을 다루기 위해 콤팩트니스 추론과 역밀도 $\gamma_F^{-1}$의 소볼레프 노름 추정을 사용한다.
• 적분 by parts 공식과 $D_u^k \delta_u$ 및 $w = \|DF\|_{\mathfrak{H}}^2$를 포함한 밀리빈 미분법 항등식을 결합하여 고차 도함수를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제수 위너 체 내 다중 스토케스티크 적분의 밀도가 정규 밀도로 일양 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 가우시안 과정의 함수형의 밀도와 정규 밀도 사이의 균일 거리에 대해 명시적 정량적 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ3 상한은 기능의 네 번째 모멘트와 밀리빈 도함수의 음의 모멘트에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 수렴 결과를 밀도의 고차 도함수와 위너 체 내 랜덤 벡터로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이러한 상한은 오르누슈타인-울렌벡 과정에서의 추정 문제, 특히 최소 제곱 추정량의 밀도 수렴에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기댓값 $\mathbb{E}[F^2] = \sigma^2$이고 $\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-6}] < \infty$인 제수 위너 체 내 랜덤 변수 $F = I_q(f)$에 대해, 밀도 $f_F$와 정규 밀도 $\phi$ 사이의 균일 거리는 $\sup_x |f_F(x) - \phi(x)| \leq C \sqrt{\mathbb{E}[F^4] - 3\sigma^4}$를 만족하며, 여기서 $C$는 $q$, $\sigma$, 및 $\|DF\|_{\mathfrak{H}}$의 여섯 번째 음의 모멘트에 의존한다.
• 상한은 $\sqrt{\mathrm{Var}(\|DF\|_{\mathfrak{H}}^2)}$로도 동치로 표현될 수 있으며, 이는 수렴이 밀리빈 도함수 노름의 분산과 연결됨을 보여준다.
• 밀도의 $m$번째 도함수에 대해, 조건 $\mathbb{E}[\|DF\|_{\mathfrak{H}}^{-\beta}] < \infty$이면서 $\beta > 6m + 6(\lfloor m/2 \rfloor \vee 1)$일 경우 균일 상한을 확보할 수 있으며, 이는 수렴의 매끄러움을 보장한다.
• 밀리빈 비퇴도 조건을 만족하는 위너 체 내 랜덤 벡터에 대해서도 결과가 확장되며, 역밀도의 소볼레프 노름을 통해 상한이 유도된다.
• 두 번째 위너 체에서, 밀도 차이의 균일 노름에 대한 명시적 상한이 유도되며, 이는 비정규 함수형에 대한 정량적 추정을 제공한다.
• 오르누슈타인-울렌벡 과정의 드리프트 매개변수 최소 제곱 추정량에 대한 응용이 제공되며, 동일한 모멘트 조건 하에서 추정량의 밀도가 정규성으로 일양 수렴함을 보여준다.