[논문 리뷰] Convergence of local supermartingales and Novikov-Kazamaki type conditions for processes with jumps

Martin Larsson, Johannes Ruf|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 43인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 확장된 국소적 적분 가능성과 예측 가능 특성들을 사용하여 점프를 가진 국소 슈퍼마팅글의 거의 확실 수렴을 위한 필요 및 충분 조건을 수립한다. 점프를 가진 음이 아닌 국소 마팅글의 마팅글 성질에 대한 노비코프-카자마키 유형 조건에 대한 새로운 증명을 제공하며, 수렴성을 확률적 지수와 폴러머 측도 성질과 연결한다.

ABSTRACT

We characterize the event of convergence of a local supermartingale. Conditions are given in terms of its predictable characteristics and quadratic variation. The notion of extended local integrability plays a key role. We then apply these characterizations to provide a novel proof for the sufficiency and necessity of Novikov-Kazamaki type conditions for the martingale property of nonnegative local martingales with jumps.

연구 동기 및 목표

• 예측 가능 특성과 이차변동량을 사용하여 점프를 가진 국소 슈퍼마팅글의 거의 확실 수렴을 특성화하기.
• 경로적 비정규성 문제를 다스리기 위해 확장된 국소적 적분 가능성의 개념을 도입하고 활용하기.
• 음이 아닌 국소 마팅글의 균일적 적분 가능성에 대한 노비코프-카자마키 유형 조건의 필요성과 충분성을 새롭게 증명하기.
• 측도 변화의 맥락에서 수렴 행동을 확률적 지수와 폴러머 측도 프레임워크와 연결하기.
• 핵심 구조 조건을 규명하여 연속시간 마팅글 수렴 결과를 점프를 가진 과정으로 일반화하기.

제안 방법

• 저자들은 국소 슈퍼마팅글의 점프 행동을 제어하기 위해 확장된 국소적 적분 가능성을 핵심 조건으로 사용한다.
• 특히 점프 측도와 보정자에 중점을 두어, 예측 가능 특성과 이차변동량을 통해 수렴을 분석한다.
• 수렴 경로를 분석할 수 있도록, 확률적 지수가 폭발할 수 있는 새로운 측도(폴러머 측도)를 구성하는 증명 기법을 사용한다.
• 원래의 확률 공간에서 캐논컬 공간으로의 가측 사상 Φ를 구성하여 정지시간과 선택적 과정을 유지한다.
• 단조 클래스 원리와 유한차원 분포를 결정하는 함수의 가족을 사용하여 유한차원 분포를 식별한다.
• 새로운 필터레이션 H와 관련된 과정을 구성함으로써, 변환된 과정이 예측 가능하고 적응 가능해지도록 하여 마팅글 이론의 적용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프를 가진 국소 슈퍼마팅글이 거의 확실하게 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 확장된 국소적 적분 가능성은 점프 과정의 맥락에서 고전적 국소적 적분 가능성 개념을 어떻게 정교화하는가?
• RQ3 국소 슈퍼마팅글의 수렴성과 그 확률적 지수의 적분 가능성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 음이 아닌 국소 마팅글의 마팅글 성질에 대한 노비코프-카자마키 조건이 필요하고 충분함을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ5 폴러머 측도 프레임워크는 확률적 지수의 수렴성과 폭발 행동을 어떻게 특성화하는가?

주요 결과

• 국소 슈퍼마팅글의 거의 확실 수렴 사건은 주로 점프 측도의 보정자에 관여하는 예측 가능 특성과 이차변동량에 대한 조건으로 특성화된다.
• 확장된 국소적 적분 가능성은 점프가 존재하는 상황에서도 국소 슈퍼마팅글의 극한이 거의 확실하게 존재하기 위한 필수 및 충분 조건으로 규명된다.
• 논문은 폴러머 측도 프레임워크를 사용하여 음이 아닌 국소 마팅글의 균일적 적분 가능성에 대한 노비코프-카자마키 유형 조건의 필요성과 충분성을 새롭게 증명한다.
• 점프를 가진 국소 마팅글의 확률적 지수는 오직 그 지수 마팅글이 유계 정지시간에 대한 최대값을 포함하는 모멘트 조건을 만족할 때만 균일적 적분 마팅글이 된다.
• 가측 사상 Φ를 통한 캐논컬 공간의 구성은 정지시간과 선택적 과정을 포함한 본질적인 확률적 구조를 유지하며, 수렴 성질의 이행을 가능하게 한다.
• 적절한 정규성 조건 하에서, 국소 슈퍼마팅글의 수렴성은 그 이차변동량의 유한성과 보정자의 확장된 국소적 적분 가능성과 동치임을 밝혀냈다.