[논문 리뷰] Convergence of maxgeneralized mean-mingeneralized mean powers of intuitionistic fuzzy matrices

Rajkumar Pradhan, Madhumangal Pal|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 01.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 최대 일반화 평균-최소 일반화 평균 연산과 최대-산술 평균-최소 산술 평균 연산의 볼록 조합에 대해 인ту이셔니스틱 퍼지 행렬(IFM)의 거듭제곱의 수렴성을 확립한다. 그래프 이론적 분석을 통해, IFM 거듭제곱이 모든 열 원소가 동일한 한계 행렬로 수렴하며, 열 정점으로 향하는 임계 경로가 존재하는 경우에만 한계 행렬 원소가 ⟨1,0⟩임을 증명한다.

ABSTRACT

Intuitionistic fuzzy relations on finite universes can be represent by intuitionistic fuzzy matrices and the limiting behavior of the power matrices depends on the algebraic operation employed on the matrices. In this paper, the power of intuitionistic fuzzy matrices with maxgeneralized mean-mingeneralized mean operation have been studied. Here it is shown that the power of intuitionistic fuzzy matrices with the said operations are always convergent. The convergence of powers for an intuitionistic fuzzy matrix with convex combination of max-min and maxarithmetic mean-minarithmetic mean are also dicussed here.

연구 동기 및 목표

• 최대 일반화 평균-최소 일반화 평균 연산 하에서 인투이셔니스틱 퍼지 행렬(IFM) 거듭제곱의 극한 행동을 분석하는 것.
• 일반화 평균 연산을 사용하여 고전적 퍼지 행렬 연산의 수렴 결과를 인투이셔니스틱 퍼지 행렬으로 확장하는 것.
• 최대-최소 및 최대 산술 평균-최소 산술 평균 연산의 볼록 조합 하에서의 수렴을 조사하는 것.
• 기초가 되는 인투이셔니스틱 퍼지 그래프가 연결되어 있을 때에만 수렴이 발생함을 확립하는 것.
• 한계 행렬의 구조를 특성화하여 각 열의 모든 원소가 동일함을 보여주는 것.

제안 방법

• 매개수 λ ∈ [0,1]과 실수 p를 사용하여, 소속도 및 소속도가 아닌 값을 일반화 평균을 통해 조합하는 방식으로 IFM에 대한 최대 일반화 평균-최소 일반화 평균 연산을 정의한다.
• IFM 거듭제곱을 방향성 인투이셔니스틱 퍼지 그래프(IFG)로 모델링하며, 행렬 원소를 경로 가중치로 간주하고 소속도 및 소속도가 아닌 값을 포함한다.
• 연속된 거듭제곱 간의 차이를 유 bounds하기 위해 재귀적 부등식을 사용하여, 행렬 원소의 수열이 코시 수열임을 보여준다.
• 연속된 거듭제곱 간의 차이가 α^(m−2)⟨1,0⟩로 유계임을 증명하며, 여기서 0 ≤ α < 1 이므로 수렴이 보장됨을 보인다.
• 그래프 이론적 추론을 적용하여, 수렴이 전이성 또는 컴actness와는 무관하게 IFG의 연결성에 의존함을 보여준다.
• 한계 행렬이 각 열에서 동일한 원소를 가지며, 열 정점으로 향하는 임계 경로가 존재하는 경우에만 모든 원소가 ⟨1,0⟩임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인투이셔니스틱 퍼지 행렬의 거듭제곱은 최대 일반화 평균-최소 일반화 평균 연산 하에서 수렴하는가?
• RQ2 일반화 평균 연산 하에서 IFM의 한계 행렬이 동일한 열 원소를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 최대-최소 및 최대 산술 평균-최소 산술 평균 연산의 볼록 조합을 사용하여 IFM 거듭제곱의 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ4 기초가 되는 인투이셔니스틱 퍼지 그래프의 연결성이 IFM 거듭제곱 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특정 열에서 IFM의 한계 행렬 원소가 ⟨1,0⟩이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 최대 일반화 평균-최소 일반화 평균 연산 하에서 인투이셔니스틱 퍼지 행렬의 거듭제곱은 항상 한계 행렬로 수렴한다.
• 한계 행렬은 각 열에서 동일한 원소를 가지며, 임의의 정점에서 열 정점으로 향하는 임계 경로가 존재하는 경우에만 모든 원소가 ⟨1,0⟩이 된다.
• 최대-최소 및 최대 산술 평균-최소 산술 평균 연산의 볼록 조합 하에서 IFM의 거듭제곱 역시 수렴한다.
• 기초가 되는 인투이셔니스틱 퍼지 그래프가 연결되어 있으면 수렴이 보장되며, 전이성 또는 컴팩트성과는 무관하다.
• 연속된 거듭제곱 간의 차이는 α^(m−2)⟨1,0⟩로 유계이며, 여기서 0 ≤ α < 1 이므로 수열이 코시 수열임을 증명하고, 따라서 수렴함을 보였다.
• 예시에서 B^28는 모든 원소가 ⟨1,0⟩인 행렬 U로 수렴하며, 이는 이론적 한계 구조를 확인한다.