[논문 리뷰] Convergence of Nekrasov instanton sum with adjoint matter

Bruno Le Floch|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 23.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 0

한 줄 요약

일반 매개변수에서 adjoint 물질을 가진 4d N=2* U(N) 이론의 Nekrasov 인스턴스 합의 절대 수렴 반지름이 1임을 증명하고, b^2 = ε1/ε2의 산술적 성질이 수렴에 어떤 영향을 미치는지 분석한다.

ABSTRACT

The Nekrasov instanton partition function of the 4d $\mathcal{N}=2^*$ $U(N)$ gauge theory (a mass deformation of 4d $\mathcal{N}=4$ super-Yang-Mills theory), which is a generating series of equivariant integrals over instanton moduli spaces, is given by a sum over colored partitions weighted by a counting parameter $\mathfrak{q}$. This note proves convergence of the series in the unit disk $|\mathfrak{q}|<1$ for generic parameters. Specifically, the absolute convergence radius of this sum is determined, assuming that mass and Coulomb branch parameters avoid some lattice. If the ratio $b^2=ε_1/ε_2$ of equivariant parameters is in $\mathbb{C}\setminus[0,+\infty)$, the radius is $1$, as expected. If $b^2$ is non-negative, three cases arise: the radius is finite if $b^2$ has finite exponential type (a generalization of Brjuno numbers), namely there exists $C>0$ such that $|b^2-p/q|>\exp(-Cq)$ for all integers $p,q eq 0$; the series diverges if $b^2$ is super-exponentially well approximable by rationals; and if $b^2$ is rational some terms are singular. The AGT correspondence translates these results to convergence of torus one-point conformal blocks of the Virasoro and $W_N$ algebras with non-real $b$, within the unit disk. For the Virasoro algebra this corresponds to a central charge in $\mathbb{C}\setminus[25,+\infty)$.

연구 동기 및 목표

• 대 adjoint 질량 m을 갖는 4d N=2* U(N)에서 Nekrasov 인스턴폰 합의 절대 수렴 반지름을 밝힌다.
• R_abs가 비례식 b^2 = ε1/ε2 및 매개변수의 격자 구조에 따라 어떻게 달라지는지 결정한다.
• 일반적 조건 하에서 R_abs = 1인 경우를 식별하고 일반적이지 않은 경우(유리/무리수 b^2)를 특징짓는다.
• AGT 대응을 통해 Nekrasov 합의 수렴성을 토러스 1점 컨formal blocks와 연결한다.
• 실수 음이 아닌 비(不-실수) b를 갖는 Virasoro 및 W_N 컨formal blocks에 대한 시사점과 관련 중심 charges를 명확히 한다.

제안 방법

• 인스턴폰 분할 함수를 Y의 N중 튜플의 합으로 표현하고 가중치 Z_Y를 부여한다.
• 절대 Nekrasov 합과 그 수렴 반경 R_abs를 liminf_Y |Z_Y|^{-1/|Y|}로 정의한다(부록 논의).
• Z_Y가 기하급수적으로 감소하지 않는 Y의 수열을 구성하여 R_abs ≤ 1임을 상한으로 도출한다.
• Z_Y의 분모를 한정하고 Z_{IJ} 요인의 성장을 추적하여 R_abs에 대해 상세한 하한을 제공한다.
• 비일반적 경우(b^2 ∈ C igr[0,+∞))를 구분하고 비실수, 음수 및 양의 유리 b^2 구간을 분석한다.
• b^2의 산술적 성질을 연속분수 및 Brjuno-type 지수형 개념과 연결하여 수렴과의 관련성을 도출한다.
• AGT를 통해 이 수렴 결과를 Virasoro 및 W_N 대수의 토러스 1점 컨 formal blocks의 수렴성과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N=2^* U(N)에 대한 adjoint 질량 m 및 매개변수 ε1, ε2에 대해 Nekrasov 인스턴폰 합의 절대 수렴 반지름 R_abs는 얼마인가?
• RQ2 R_abs가 비율 b^2 = ε1/ε2에 어떻게 의존하며, 수렴을 지배하는 b^2의 산술적 특성(유리/무리수, 지수형의 유한/무한 등)에 대해 무엇인가?
• RQ3 질량과 쿨롱 매개변수에 대한 일반성 조건에서 비실수 b^2인 경우 R_abs가 1에 해당하는가, 그렇지 않으면 어떤 경계가 존재하는가?
• RQ4 Nekrasov 합의 수렴 특성이 AGT 대응 및 Virasoro와 W_N 대수의 torus 1점 컨formal blocks의 수렴성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 절대 수렴 반경은 b^2 ∈ C igr[0,+∞)에 대해 R_abs = 1이다.
• b^2가 무리수이고 >0인 경우, R_abs는 지수형의 상한 B_sup(b^2)과 관련된 하한으로부터 아래로 bound 되며, 지수형이 유한하면 R_abs>0이고 무한하면 R_abs = 0이다.
• b^2가 유리이고 >0인 경우, 일부 항 Z_Y가 특이해져 합이 정의될 수 없다.
• 비실수 b^2의 경우 분모에 대한 양의 하한으로 인해 Z_Y의 하위 지수적 증가를 억제하고 따라서 R_abs ≥ 1이며, R_abs ≤ 1과 결합하여 R_abs = 1이 된다.
• b^2 < 0인 경우 분석은 비실수 케이스와 유사하며 주어진 일반성 가정 하에서 동일하게 R_abs = 1을 얻는다.
• AGT 프레임워크에서 이러한 수렴 결과는 Virasoro 및 W_N 대수의 토러스 1점 컨formal blocks의 일반 질량 및 쿨롱 매개변수로의 단위 원판 수렴으로 해석된다.