[논문 리뷰] Convergence of Nonlinear Filtering for Stochastic Dynamical Systems with Lévy Noises

Huijie Qiao|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 25.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 레비 소음에 의해 구동되는 다스케일 스토크라스틱 동역계에 대한 비선형 필터의 수렴성을 제시한다. 동역계의 차원을 줄이기 위해 호모제니제이션 기법을 사용하며, 약한 수렴 기법을 적용하여 느린 성분의 필터링 분포가 시간 스케일 분리 매개수 ε → 0일 때 호모제니제이션 한 극한 시스템의 분포로 수렴함을 증명한다. 이는 신호 및 관측 과정에 모두 점프 성분이 존재하는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We consider a nonlinear filtering problem of multiscale non-Gaussian signal processes and observation processes with jumps. Firstly, we prove that the dimension for the signal system can be reduced by a homogenized approach. Secondly, convergence of the corresponding nonlinear filtering to the homogenized filtering is shown by a weak convergence technique. Finally, we give an example to explain our result.

연구 동기 및 목표

• 신호 및 관측 과정에 비정규 레비 소음이 존재하는 다스케일 스토크라스틱 시스템에서의 비선형 필터링 문제를 다루는 것.
• 느린 성분에 대한 호모제니제이션 극한을 도출하여 신호 시스템의 차원을 감소시키는 것.
• 시간 스케일 분리 매개수 ε → 0일 때, 관측 과정에 조건부된 느린 성분의 조건부 분포의 약한 수렴성을 확립하는 것.
• 확산 과정을 초월하여 일반 레비 소음을 포함하는 점프-확산 역학을 수용하는 필터링 이론을 확장하는 것.
• 빠른 성분과 느린 성분이 존재하는 복잡한 시스템에서 점프형 소음이 있는 필터링에 대한 엄밀한 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 시간 스케일 분리 매개수 ε를 통해 느린 성분(Xε)과 빠른 성분(Zε)을 갖는 느린-빠른 스토크라스틱 동역계를 설정하며, 둘 다 레비 소음에 의해 구동되는 SDE로 기술한다.
• 빠른 성분 Zε를 그의 불변 측도로 대체함으로써 느린 성분 X⁰에 대한 극한 SDE를 도출하기 위해 호모제니제이션 기법을 적용한다.
• càdlàg 경로의 공간에서 확률 측도의 약한 수렴을 사용하여 필터링 분포의 수렴성을 증명한다.
• 신호 및 관측 과정의 점프 성분을 다루기 위해 보정된 마틴게일 측도를 포아송 랜덤 측도에 적용한다.
• 가정된 에르고드성 및 모멘트 조건 하에서 빠른 성분 Zε의 유계성과 모멘트 유계성을 확립하여 수렴을 보장한다.
• 비선형 필터링을 위한 자카이 방정식 프레임워크를 적용하고, 필터링 밀도의 약한 수렴이 호모제니제이션 필터링 분포로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 소음이 존재하는 다스케일 신호 시스템의 차원을 호모제니제이션을 통해 감소시킬 수 있는가? 이 과정에서 필터링 정확도는 유지되는가?
• RQ2 시간 스케일 분리 매개수 ε → 0일 때, 느린 성분에 대한 비선형 필터가 호모제니제이션 극한 시스템의 필터로 약하게 수렴하는가?
• RQ3 신호 및 관측 과정의 점프 성분은 필터링 분포의 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 계수 및 소음 특성에 대해 어떤 조건이 성립할 경우 필터링 분포가 법적으로 수렴하는가?
• RQ5 느린 성분의 확산 계수에 빠른 성분이 의존하는 시스템에 대해서도 약한 수렴 기법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 에르고드성 및 모멘트 조건이 만족될 경우, ε → 0일 때 느린 성분 Xε는 D([0,T], ℝⁿ)에서 호모제니제이션 극한 X⁰로 약하게 수렴한다.
• 모든 유계 측도 가능 함수 ψ에 대해, ε → 0일 때 조건부 기대값 𝔼[ψ(Xεₜ) | ℱᵗ^{Yε]}이 𝔼[ψ(X⁰ₜ) | ℱᵗ^{Yε]}로 약하게 수렴한다.
• 극한 필터링 분포는 빠른 성분의 불변 측도에 대해 평균화하여 얻은 효과적 드리프트 및 확산 계수를 갖는 호모제니제이션 SDE로 특징지어진다.
• 관측 과정이 일반 레비 랜덤 측도와 스토크라스틱 강도를 갖는 경우에도 수렴이 성립한다.
• h(x,z) = arctan(x), f₃(s,u) = u, λ가 상수인 예시는 모든 요구 조건을 만족하며, 이는 이론적 결과가 구체적인 설정에서 확인됨을 확인한다.
• 빠른 성분 Zε의 유계성은 모멘트 유계성과 코모고로프 유형 기준을 통해 확립되었으며, 이는 유한 차원 분포의 수렴을 보장한다.