[논문 리뷰] Convergence of random sums and statistics constructed from samples with random sizes to the Linnik and Mittag-Leffler distributions and their generalizations

V. Yu. Korolev, Alexander Zeifman|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 08.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 기하 합산 외에도 랜덤 크기의 표본에서 발생하는 광범위한 통계량에 대해 린니크 및 미타그-레플레르 분포가 한계 분포로 나타남을 입증한다. 이는 새로운 혼합 표현을 통해 이루어지며, 린니크 분포가 매개수 δ = α/2인 미타그-레플레르 분포를 혼합 측도로 사용하는 정규 분포의 척도 혼합임을 증명한다. 이로 인해 유한 분산 조건 하에서 랜덤 합, 극값 순서 통계량, 최대 합에 대한 새로운 중심극한정리가 가능해진다.

ABSTRACT

We present some product representations for random variables with the Linnik, Mittag-Leffler and Weibull distributions and establish the relationship between the mixing distributions in these representations. Based on these representations, we prove some limit theorems for a wide class of rather simple statistics constructed from samples with random sized including, e. g., random sums of independent random variables with finite variances, maximum random sums, extreme order statistics, in which the Linnik and Mittag-Leffler distributions play the role of limit laws. Thus we demonstrate that the scheme of geometric summation is far not the only asymptotic setting (even for sums of independent random variables) in which the Mittag-Leffler and Linnik laws appear as limit distributions. The two-sided Mittag-Leffler and one-sided Linnik distribution are introduced and also proved to be limit laws for some statistics constructed from samples with random sizes.

연구 동기 및 목표

• 기하 합산 방식 외에도 린니크 및 미타그-레플레르 한계 분포가 나타나지 않는다는 오해를 도전하기 위해.
• 이 분포들이 합산 항이 유한 분산을 가질 때조차도 단순한 통계량(예: 랜덤 합, 극값 순서 통계량)의 극한으로 나타남을 보여주기 위해.
• 린니크, 미타그-레플레르, 위불 분포에 대한 새로운 곱 표현 및 혼합 표현을 수립하여 이들의 해석적 성질을 통합하기 위해.
• 린니크 분포가 한계로 나타나는 랜덤 합 중심극한정리를 개발하기 위해. 이 경우, 정규화된 합산 항 수가 미타그-레플레르 법칙에 의해 지배되어야 한다.
• 극값 통계량과 랜덤 샘플링 기법을 통해 한쪽 방향 린니크 법칙의 영역 접근 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 라플라스 및 푸리에-스타일티지 변환을 사용하여 린니크, 미타그-레플레르, 위불 분포에 대한 곱 표현을 유도하기 위해.
• 매개수 α인 린니크 분포가 매개수 δ = α/2인 미타그-레플레르 법칙을 혼합 측도로 사용하는 정규 분포의 척도 혼합임을 입증하기 위해.
• |Lα| = |X|√Mα/2라는 항등식을 사용하여 한쪽 방향 린니크 법칙을 반정규 및 미타그-레플레르 혼합과 연결하기 위해.
• 반정규 법칙의 척도 혼합의 식별 가능성(Identifiability)을 활용하여 최대 랜덤 합의 수렴 조건을 도출하기 위해.
• 대칭 표현 |Lα| = Wγ T1/γ1/γ Qα,2를 활용하여 극값 순서 통계량을 위불 및 감마 변수를 통해 한쪽 방향 린니크 법칙과 연결하기 위해.
• 린데버그 조건과 정규화된 표본 크기의 수렴을 활용하여 린니크 및 미타그-레플레르 법칙으로의 약한 수렴을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하 합산 방식을 초월하여, 랜덤 크기의 표본에서 생성된 통계량에 대해 린니크 및 미타그-레플레르 분포가 한계 분포로 나타날 수 있는가?
• RQ2 혼합 표현을 통해 린니크, 미타그-레플레르, 위불 분포 사이의 정확한 해석적 관계는 무엇인가?
• RQ3 정규화된 최대 랜덤 합이 한쪽 방향 린니크 분포로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 랜덤 크기의 표본에서 극값 순서 통계량이 어떻게 한쪽 방향 린니크 법칙으로 수렴할 수 있으며, 이를 위한 영역 접근 조건은 무엇인가?
• RQ5 랜덤 합 중심극한정리에서 린니크 분포가 한계 분포가 되기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가? 특히 합산 항 수가 미타그-레플레르 분포를 따를 경우에 대해.

주요 결과

• 매개수 α인 린니크 분포는 매개수 δ = α/2인 미타그-레플레르 법칙을 혼합 측도로 사용하는 정규 분포의 척도 혼합이다.
• 한쪽 방향 린니크 법칙 |Lα|는 표준 정규 분포 X와 매개수 α/2인 미타그-레플레르 분포 Mα/2의 곱 √Mα/2로 표현된다.
• 랜덤 크기의 표본에서 최소 순서 통계량의 분포는 기저 분포가 형상 매개수 γ인 위불 분포의 영역에 속해 있고, 랜덤 표본 크기 U_n/d_n이 감마 및 역감마 분포의 특정 혼합에 수렴할 경우, 한쪽 방향 린니크 법칙으로 수렴한다.
• 최대 랜덤 합의 경우, 정규화된 합산 항 수가 매개수 α/2인 미타그-레플레르 법칙으로 수렴할 때에만 한쪽 방향 린니크 법칙으로 수렴한다.
• 한계 분포는 강건하다: 미타그-레플레르 및 린니크 분포는 기하 합산 외에도 유한 분산 합산 항과 비기하 샘플링 기법이 적용된 경우에도 한계로 나타난다.
• 이 논문은 랜덤 합 중심극한정리의 새로운 '필요 및 충분조건' 형태를 제시한다. 이 경우, 정규화된 합산 항 수의 극한은 미타그-레플레르 법칙에 의해 지배되며, 정규화된 합의 극한은 린니크 분포가 된다.