[논문 리뷰] Convergence of random walks to Brownian motion in phylogenetic tree-space

Tom M. W. Nye|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 12.

Morphological variations and asymmetry인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 워크가 빌레라-홀름스-폭트만 트리 공간에서 단계 크기가 감소하고 단계 수가 증가함에 따라 브라운 운동으로 수렴함을 입증하며, 진화적 트리 다양체 위에서의 매개변수 분포를 구성하기 위한 실용적인 근사법을 제공한다. 수렴 성질 덕분에 랜덤 워크의 전이 커널을 브라운 운동 분포의 대체로 사용하여 통계 모델링이 가능해진다.

ABSTRACT

The set of all phylogenetic (or evolutionary) trees for a fixed set of species forms a manifold-stratified geodesic metric space known as Billera-Holmes-Vogtmann tree-space. In order to analyse samples of phylogenetic trees it is desirable to construct parametric distributions on this space, but this task is very challenging. One way to construct such distributions is to consider particles undergoing Brownian motion in tree-space from a fixed starting point. The distribution of the particles after a given duration of time is analogous to a multivariate normal distribution in Euclidean space. Since these distributions cannot be worked with directly, we consider approximating them by suitably defined random walks in tree-space. We prove that as the number of steps tends to infinity and the step-size tends to zero, the distribution determined by the transition kernel of the random walk converges to that corresponding to Brownian motion. This result opens up the possibility of statistical modelling using distributions obtained from transition kernels of random walks and Brownian motion on tree-space. The methods developed here could be extended to establish similar results on other Euclidean complexes or manifold-stratified spaces.

연구 동기 및 목표

• 진화적 트리 공간의 복잡한 다양체-층화된 공간에서 매개변수 확률 분포를 구성하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 트리 공간에서 직접 브라운 운동 분포를 다루는 데 어려움이 있다는 문제를 해결하는 것 — 이는 해석적으로 다루기 어려움.
• 트리 공간에서의 랜덤 워크가 브라운 운동에 대한 계산적으로 실현 가능한 근사로 기능할 수 있음을 입증하는 것.
• 트리 공간에서 랜덤 워크 전이 커널에서 유도된 분포를 사용한 통계 추론에 대한 이론적 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 단계 크기를 점차 줄이며 지오데식선을 따라 이동하는 방식으로 빌레라-홀름스-폭트만 트리 공간에서의 랜덤 워크를 정의한다.
• 진화적 트리 공간 내에서 반복된 지오데식 이동을 통해 랜덤 워크의 전이 커널을 구성한다.
• 단계 수가 무한대에 가까워지고 단계 크기가 0에 수렴할 때 랜덤 워크의 극한 분포를 분석한다.
• 트리 공간의 기하학적 성질과 메트릭 공간 성질(특히 지오데식 메트릭 공간으로서의 성질)을 활용하여 수렴을 증명한다.
• 메트릭 공간 위의 확률과정 기법을 적용하여 랜덤 워크 분포가 브라운 운동 분포로 약한 수렴함을 보여준다.
• 트리 공간의 층화된, 음의 곡률을 가진 기하학적 구조를 활용하여 적절한 스케일링 하에서 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 단계 크기와 많은 단계 수의 극한에서 트리 공간에서의 랜덤 워크가 브라운 운동의 분포를 근사할 수 있는가?
• RQ2 트리 공간에서 랜덤 워크의 분포가 브라운 운동 분포로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 랜덤 워크의 전이 커널은 어떻게 진화적 트리 공간 위의 통계 분포를 모델링하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 어떤 기하학적 성질이 트리 공간에서의 랜덤 워크가 브라운 운동으로 수렴하도록 가능하게 하는가?

주요 결과

• 단계 수가 증가하고 단계 크기가 감소함에 따라 트리 공간에서의 랜덤 워크 분포가 약한 수렴을 통해 브라운 운동 분포로 수렴한다.
• 이 수렴은 트리 공간이 지오데식선, 다양체-층화된 메트릭 공간으로서의 기하학적 구조와 음의 곡률을 가진다는 점에서 성립한다.
• 랜덤 워크의 전이 커널은 스케일링 극한에서 브라운 운동의 전이 커널을 근사한다.
• 이 결과는 트리 공간에서 직접 브라운 운동을 시뮬레이션하는 대신 랜덤 워크를 실용적인 대체 수단으로 사용할 수 있는 이론적 근거를 제공한다.
• 이 방법은 유사한 기하학적 성질을 가진 타 유럽형 복합체 및 다양체-층화된 공간으로 일반화 가능하다.