[논문 리뷰] Convergence of Rothe scheme for hemivariational inequalities of parabolic type

Piotr Kalita|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 27.

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한 줄 요약

이 논문은 반응-확산 반변분부등식에 다중값 함수항을 포함한 로테 방법의 수렴성을 반사적 바나흐 공간 위에서 클라크 미분을 통해 정의된 다중값 함수항을 포함하여 입증한다. 시간 이산화된 타원형 포함식을 풀고, 조각상수 및 조각선형 근사의 수렴성을 증명함으로써, 정규화 없이도 구조적 존재 증명과 효과적인 수치 근사를 제공하며, 이는 이전 결과를 일반화하여 소스 조건과 경계 조건을 통합된 프레임워크 안에서 다루는 데 성공한다.

ABSTRACT

This article presents the convergence analysis of a sequence of piecewise constant and piecewise linear functions obtained by the Rothe method to the solution of the first order evolution partial differential inclusion $u'(t)+Au(t)+ι^*\partial J(ιu(t)) i f(t)$, where the multivalued term is given by the Clarke subdifferential of a locally Lipschitz functional. The method provides the proof of existence of solutions alternative to the ones known in literature and together with any method for underlying elliptic problem, can serve as the effective tool to approximate the solution numerically. Presented approach puts into the unified framework known results for multivalued nonmonotone source term and boundary conditions, and generalizes them to the case where the multivalued term is defined on the arbitrary reflexive Banach space as long as appropriate conditions are satisfied. In addition the results on improved convergence as well as the numerical examples are presented.

연구 동기 및 목표

• 일阶 미분 포함식에 대한 클라크 미분을 포함하는 해의 존재성에 대한 구조적 증명을 제공하는 것.
• 로테 방법을 임의의 반사적 바나흐 공간 위에서 다중값 함수항을 포함한 포물형 반변분부등식으로 확장하여 소스 조건과 경계 조건을 통합적으로 다루는 것.
• 정규화나 부드러움 항을 요구하지 않고도 조각상수 및 조각선형 로테 근사의 수렴성을 확립하는 것.
• 기존의 타원형 해법기를 활용할 수 있는 수치적으로 효과적인 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 시간 도함수를 후진 차분 몫으로 대체함으로써 시간 이산화를 위한 후진 오일러 스킴을 사용하는 것.
• 각 시간 단계에서 다중값 함수항이 국소 리프시츠 함수의 클라크 미분으로 주어진 타원형 변분부등식의 순차적 해법.
• 시간 이산화된 해로부터 조각상수 및 조각선형 함수를 구성하여 전체 해를 근사하는 것.
• 적절한 함수 공간에서 근사 수열의 수렴성을 통해 로테 방법을 이용해 해의 존재성을 증명하는 것.
• 적절한 임bedding 또는 경계값 연산자를 선택함으로써 소스 유형 및 경계 유형 반변분부등식에 모두 적용하는 것.
• 유한 요소를 공간에, 유한 차분을 시간에 적용한 수치적 스킴을 구현하며, 각 시간 단계에서 클라크 미분의 다중값 특성을 고려해 세 가지 경우를 검토하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클라크 미분을 통해 정의된 다중값 함수항을 포함한 포물형 반변분부등식에 대해 로테 방법을 엄밀하게 적용할 수 있는가?
• RQ2 로테 방법은 통합된 프레임워크 내에서 소스 유형과 경계 유형 반변분부등식에 대해 수렴하는 근사를 제공하는가?
• RQ3 정규화나 하한/상한 해에 대한 사전 지식 없이도 구조적 존재 증명을 제공할 수 있는가?
• RQ4 비모노톤 클라크 미분을 포함하는 경우, 로테 근사의 수렴 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 클라크 미분이 비모노톤 점프 또는 다중값 특성을 보일 경우, 수치적으로 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 조각상수 및 조각선형 근사의 약한 수렴의 의미에서 로테 방법은 포물형 반변분부등식의 해로 수렴한다.
• 비구조적 존재 증명(예: 전사 정리나 상하한 해 기반 기법)에 비해 구조적 대안을 제공한다.
• 모노톤성 조건 $ H(J)_1 $을 만족하는 잠재력 $ j_2 $의 경우, 각 시간 단계에서 유일한 해만 수치적으로 구해져 이 영역에서의 유일성 가능성을 시사한다.
• 조건 $ H(J)_1 $을 위반하는 잠재력 $ j_1 $의 경우, 여러 시간 단계에서 다수의 해가 발견되어 해의 다중성 가능성을 시사한다.
• 클라크 미분 그래프의 수평, 기울인, 수직 세그먼트에 대한 세 가지 경우를 검토함으로써 다중값 특성을 효과적으로 처리하였다.
• 추가 가정 하에서 수렴성이 향상되며, 기저 타원형 문제의 해가 존재하는 한 선형 및 비선형 연산자 $ A $에 대해 모두 효과적이다.