[논문 리뷰] Convergence of solutions of fractional differential equations to power-type functions

Mohammed D. Kassim, Nasser‐eddine Tatar|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 18.

Nonlinear Differential Equations Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캡토 도함수를 갖는 비선형 분수차분 미분방정식의 해의 점근적 행동을 조사하며, 비선형성의 성장 조건이 만족될 경우 해가 거듭제곱형 함수로 수렴함을 증명한다. 분수적 적분 변환, 가중 노름 추정, 그리고 새로운 캡토 분수도 버전의 로피탈의 정리 등을 사용하여, $ 0 < \beta < \alpha < 1 $ 인 경우 해가 $ \tau^{\beta} $ 유형의 함수로 수렴함을 확립한다. 이는 일반적인 상미분방정식에 대한 고전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this article we study the asymptotic behavior of solutions of some fractional differential equations. We prove convergence to power type functions under some assumptions on the nonlinearities. Our results extend and generalize some existing well-known results on solutions of ordinary differential equations. Appropriate estimations and lemmas such as a fractional version of L'Hopital's rule are used.

연구 동기 및 목표

• 캡토 도함수를 갖는 분수미분방정식의 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 일반적인 상미분방정식에 대한 고전적인 점근적 결과를 분수적 상황으로 확장한다.
• 해가 거듭제곱형 함수 $ \tau^{\beta} $ 로 수렴할 수 있는 충분한 조건을 확립한다.
• 점근적 분석을 위해 분수도 로피탈의 정리의 새로운 버전을 개발하고 적용한다.
• 오른쪽 항에 비선형 성장 제약 조건이 있을 경우 유계성과 수렴성 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 캡토 분수적 적분을 사용하여 분수초기값 문제를 등가의 적분방정식으로 변환한다.
• 공액 지수 $ p, q $ 를 가진 가중 $ L^q $-노름 추정과 헬더 부등식을 적용하여 비선형 항을 제어한다.
• 최근 유도된 분수도 로피탈의 정리의 새로운 버전을 사용하여 해의 점근적 행동을 분석한다.
• 가중 함수 공간에서의 비교 정리와 그론발라 유사 부등식을 사용하여 해와 그 분수도를 유계로 제한한다.
• 해와 그 분수도를 지배하기 위해 보조 함수 $ z(\tau) $ 를 도입하여 적분 부등식의 적용을 가능하게 한다.
• 해의 유계성을 보장하기 위해 함수 $ h(\tau) $ 와 성장 함수 $ \varphi_1, \varphi_2 $ 에 대한 적분 가능성 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캡토 도함수를 갖는 분수미분방정식의 해가 어떤 조건에서 거듭제곱형 함수로 수렴하는가?
• RQ2 점근적 행동 분석을 위해 분수도 로피탈의 정리를 어떻게 구성하고 적용할 수 있는가?
• RQ3 비선형성에 어떤 성장 제약 조건이 존재할 경우 해의 유계성과 수렴성이 보장되는가?
• RQ4 분수도의 차수인 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 가 해의 점근적 프로파일에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반적인 상미분방정식에 대한 고전적인 점근적 결과는 캡토 도함수를 갖는 분수적 경우로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 성장 조건 하에서 初期값 문제 $ {}^{C}\mathfrak{D}_{0}^{\alpha}x(\tau) = f(\tau, x(\tau), {}^{C}\mathfrak{D}_{0}^{\beta}x(\tau)) $ 의 해는 $ \tau \to \infty $ 일 때 $ c\tau^{\beta} $ 로 수렴한다. $ 0 < \beta < \alpha < 1 $.
• 문제 $ {}^{C}\mathfrak{D}_{0}^{\alpha}x(\tau) = f(\tau, x(\tau), {}^{C}\mathfrak{D}_{0}^{\beta}x(\tau)) $ 에서, $ \int_{\xi_0}^{\infty} \frac{ds}{\varphi_1^q(s^{1/q})\varphi_2^q(s^{1/q})} = \infty $ 를 만족할 경우, 해는 유계이며 $ |x(\tau)| \leq C $, $ |{}^{C}\mathfrak{D}_{0}^{\beta}x(\tau)| < C $ 를 만족하는 어떤 상수 $ C $ 가 존재한다.
• 새로운 분수도 로피탈의 정리가 확립되었으며, 이는 분수도를 포함하는 함수의 비율의 점근적 행동을 분석하는 데 사용되었다.
• 이 방법은 미분방정식을 적분방정식으로 변환하고, 적절히 선택된 가중치를 가진 헬더 부등식을 적용하여 비선형성을 제어하는 데 의존한다.
• 결과는 기존의 상미분방정식에서 알려진 점근적 행동(예: $ x(\tau) \sim c\tau + b $) 을 거듭제곱형 수렴을 보이는 분수차수 시스템으로 일반화한다.
• 예시로 $ \alpha = 2/3 $, $ \beta = 1/3 $ 인 경우를 제시하며, 비선형성에 지수 감소와 거듭제곱 함수가 포함되어 있어 주요 정리들을 통해 해의 유계성과 수렴성이 확인된다.