[논문 리뷰] Convergence of some Mean Field Games systems to aggregation and flocking models

Martino Bardi, Pierre Cardaliaguet|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 09.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 38인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 할인율 λ→∞ 이면서 제어 비용이 소멸할 때 두 종류의 평균장 게임(Mean Field Game, MFG) 시스템이 집합 모형과 군집 모형으로 수렴함을 규명한다. 점점 투명해지는 점성(viscosity)을 갖는 이차 MFG의 경우 해는 집합 방정정식으로 수렴하고, 가속도 기반의 일차 MFG의 경우 해는 운동론적 Cucker-Smale 모형으로 수렴한다. 이러한 극한 역학은 한계 상태에서의 에이전트 밀도 하에서 실행 비용의 경사하강법으로 나타난다.

ABSTRACT

For two classes of Mean Field Game systems we study the convergence of solutions as the interest rate in the cost functional becomes very large, modeling agents caring only about a very short time-horizon, and the cost of the control becomes very cheap. The limit in both cases is a single first order integro-partial differential equation for the evolution of the mass density. The first model is a 2nd order MFG system with vanishing viscosity, and the limit is an aggregation equation. The result has an interpretation for models of collective animal behaviour and of crowd dynamics. The second class of problems are 1st order MFGs of acceleration and the limit is the kinetic equation associated to the Cucker-Smale model. The first problem is analyzed by PDE methods, whereas the second is studied by variational methods in the space of probability measures on trajectories.

연구 동기 및 목표

• MFG 시스템 내 이성적이고 시력이 떨어지는 에이전트가 집합 및 군집 행동 모형으로 수렴하는 힌트적 수렴을 엄밀히 정당화하는 것.
• 점성의 소멸과 큰 할인율(λ→∞) 조건에서의 이차 MFG 시스템의 극한을 분석하여 집합 방정식으로의 수렴을 보이는 것.
• 유사한 점성과 할인율 조건 하에서 가속도 기반의 일차 MFG 시스템을 연구하고, 운동론적 Cucker-Smale 모형으로의 수렴을 증명하는 것.
• 21번 및 8번 참조자료에서의 이전 힌트적 결과를 점성의 소멸과 무한 시간 수평선을 통합함으로써 통합하고 확장하는 것.
• 집합 모형의 경우 PDE 기법을, Cucker-Smale 모형의 경우 측도 공간 내 변분 기법을 사용하여 수렴을 확립하는 것.

제안 방법

• 점성 νλ→0+ 와 큰 할인율 λ→∞ 조건에서 이차 MFG 시스템을 설정하고, 해밀턴-자코비-벨리만 방정식과 포크-플랑크 유사 연속 방정식을 사용한다.
• PDE 기법과 컴팩턴스 추론을 통해 MFG 해 (uλ, mλ) 가 집합 방정식 ∂tm − div(m DxF(x,m)) = 0 의 해 m 로 수렴함을 증명한다.
• 최적 피드백 −λDuλ 분석을 통해 거의 모든 곳에서 −DxF(·,m)로 수렴함을 보이며, 이는 한계 에이전트 밀도 하에서 실행 비용의 경사하강법을 나타낸다.
• 가속도 기반 MFG의 경우, 궤적의 확률 측도 공간에서 변분 공식을 사용하여 시간 통합 작용 함수를 최소화한다.
• 궤적에 대한 측도의 강한 수렴성과 상대 컴팩턴스를 확립한 후, 극한이 운동론적 Cucker-Smale 방정식의 해임을 식별한다.
• 오일러-라그랑주 방정식과 부분 적분을 사용하여 극한 역학을 유도하고, [10]에서 알려진 결과를 활용해 해의 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점성의 소멸과 큰 할인율 조건에서 이차 MFG 시스템이 어떤 조건에서 집합 방정식으로 수렴하는가?
• RQ2 할인율 λ→∞ 인 시력이 떨어지는 MFG 제어 환경에서 최적 피드백 제어는 한계 상태에서 실행 비용의 경사하강법과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 제어 비용이 소멸하고 할인율이 큰 조건에서 가속도 기반의 일차 MFG 시스템이 운동론적 Cucker-Smale 모형으로 수렴할 수 있는가?
• RQ4 점성의 소멸(νλ→0+)은 MFG 해가 비확산적 집단 모형으로 수렴하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 점성과 할인율 조건 하에서 Cucker-Smale 방정식의 한계 측도 해는 유일한가?

주요 결과

• λ→∞ 이면서 νλ→0+ 일 때, 이차 MFG 시스템의 해 mλ 는 집합 방정식 ∂tm − div(m DxF(x,m)) = 0 의 해 m 로 수렴한다.
• 최적 피드백 제어 −λDuλ 은 거의 모든 곳에서 −DxF(·,m) 로 수렴하며, 이는 한계 에이전트 밀도 하에서 실행 비용의 경사하강법을 나타낸다.
• 가속도 기반 MFG의 경우, 극한 역학은 Cucker-Smale 운동론적 방정식으로 기술되며, 궤적은 이차 미분방정식 ¨γ(t) = −DvF(γ(t), ˙γ(t), m(t)) 를 만족한다.
• 한계 측도 m 은 초기 분포 m0 를 Cucker-Smale 역학의 흐름에 따라 옮긴 결과로 유일하게 결정된다.
• 수렴은 부분수열을 따라 성립하며, 극한의 유일성 때문에 전체 수열 (mλ) 이 한계 방정식의 해로 수렴한다.
• 결과적으로 이는 이성적 MFG 시스템에서 시력이 떨어지고 제어 비용이 없는 에이전트의 집합 및 군집 모형을 힌트적으로 유도하는 데 엄밀한 정당성을 제공한다.