[논문 리뷰] Convergence of stochastic 2D inviscid Boussinesq equations with transport noise to a deterministic viscous system

Dejun Luo|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 소음 강도에 적절한 스케일링 조건 하에서, 수송 유형의 소음을 가진 확률적 2차원 무점성 Boussinesq 방정식의 약한 해가 강한 점성 Boussinesq 시스템의 유일한 해로 약한 수렴함을 규명한다. 수송 소음은 점진적으로 시스템을 정규화시키며, 이로 인해 한계에서 효과적인 소산이 발생하고 점성도 증가하여, 무점성 경우에 대한 확률적 정규화 메커니즘을 제공한다.

ABSTRACT

The inviscid 2D Boussinesq system with thermal diffusivity and multiplicative noise of transport type is studied in the $L^2$-setting. It is shown that, under a suitable scaling of the noise, weak solutions to the stochastic 2D Boussinesq equations converge weakly to the unique solution of the deterministic viscous Boussinesq system. Consequently, the transport noise asymptotically regularizes the inviscid 2D Boussinesq system and enhances dissipation in the limit.

연구 동기 및 목표

• 다양한 수송 소음을 가진 2차원 무점성 Boussinesq 시스템의 약한 해의 점점적 행동을 조사하기 위해.
• 해당 소음이 정규화를 유도하고, 한계에서 결정론적 점성 시스템으로 수렴하는지 여부를 규명하기 위해.
• 소음 강도에 적절한 스케일링 조건 하에서 약한 해의 수렴을 확립하기 위해.
• 수송 소음이 실제로 정규화 메커니즘으로 작용하여, 한계에서 소산을 효과적으로 증가시킨다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 공간-시간 브라운 운동에 의해 구동되는 Stratonovich 소음을 가진, 비선형성의 형태로 표현된 2차원 확률적 Boussinesq 시스템을 수립하기 위해.
• 토러스 T²에서 푸리에 모드를 이용한 소음 표현을 사용하며, 대칭 계수와 시간에 대해 백색 임펄스를 가짐.
• 소음 강도 ν를 시스템의 매개변수와 함께 스케일링하여 결정론적 점성 한계를 도출하기 위한 극한 스케일링을 적용하기 위해.
• 분포 공간 내에서 컴팩턴스 및 타이트니스 추론을 통해 해의 약한 수렴을 증명하기 위해.
• 에너지 추정과 그로워랄라 유형의 추론을 통해 결정론적 점성 시스템의 유일성을 확립하기 위해.
• 이토의 공식과 사전 추정을 사용하여 해의 성장률을 통제하고 수렴을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 무점성 Boussinesq 시스템에 수송 소음을 추가하면, 소음 강도를 적절히 스케일링할 경우 잘 정의된 결정론적 한계가 존재하는가?
• RQ2 확률적 시스템의 약한 해가 결정론적 점성 Boussinesq 시스템의 유일한 해로 약하게 수렴하는가?
• RQ3 수송 소음이 무점성 영역에서 소산을 증가시키고 해를 정규화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 소음 강도 ν는 한계 결정론적 시스템에서 효과적인 점성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 적절한 소음 강도 스케일링 조건 하에서, 수송 소음을 가진 2차원 무점성 Boussinesq 방정식의 약한 해는 결정론적 점성 Boussinesq 시스템의 유일한 해로 약하게 수렴한다.
• 한계 결정론적 시스템의 점성 계수는 소음 강도 ν와 동일하며, 이는 소음이 소산을 증가시킨다는 것을 보여준다.
• 수송 소음은 정규화 메커니즘으로 작용하여, 무점성 시스템을 안정화시키고 한계에서 해의 전역 존재성을 보장한다.
• 에너지 추정과 그로워랄라 부등식을 사용하여 L² 초깃값에 대해 결정론적 점성 Boussinesq 시스템의 해의 유일성을 확립하였다.
• 수렴은 컴팩턴스 및 타이트니스 추론을 통해 보였으며, 한계는 결정론적이며 유일하게 해를 갖는다.
• 이 결과는 이전의 확률적 2차원 올레어 및 레이놀즈 방정식의 스케일링 극한을 더 복잡한 열역학적 효과를 포함한 보우시네스크 시스템으로 확장한다.