[논문 리뷰] Convergence of the Crank-Nicolson-Galerkin finite element method for a class of nonlocal parabolic systems with moving boundaries

Rui M.P. Almeida, José C. M. Duque외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 31.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이동 경계를 가진 비선형, 비국소 파라볼릭 시스템에 적용된 선형화된 크랭크-니콜슨-갈레르킨 유한요소법에 대해 최적 수렴 속도를 확립한다. 영역을 고정하기 위해 좌표 변환을 사용하고 임의의 차수의 다항식 기저 함수를 적용함으로써, 이 방법은 공간과 시간 모두에서 최적의 오차 한계를 달성한다. 수치 실험을 통해 높은 정확도와 적응형 이동 유한요소법과의 일치를 입증하였다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish the convergence and error bounds to the fully discrete solution for a class of nonlinear systems of reaction-diffusion nonlocal type with moving boundaries, using a linearized Crank-Nicolson-Galerkin finite element method with polynomial approximations of any degree. A coordinate transformation which fixes the boundaries is used. Some numerical tests to compare our Matlab code with some existing moving finite elements methods are investigated.

연구 동기 및 목표

• 인구 역학과 열전달에서 발생하는 이동 경계를 가진 비선형, 비국소 파라볼릭 시스템을 해결하기 위한 강력한 수치적 방법을 개발한다.
• 임의의 차수 다항식 근사를 사용하는 완전 이산화된 선형화된 크랭크-니콜슨-갈레르킨 유한요소법에 대해 엄밀한 수렴성과 오차 한계를 확립한다.
• 해의 전역 적분에 의존하는 비국소 확산 항을 처리하여 시간과 공간에서의 안정성과 정확성을 보장한다.
• 정확도와 수렴 행동 측면에서 기존의 이동 유한요소법과 제안된 방법을 비교한다.
• 다양한 메esh 크기, 시간 간격, 파rameter 허용 오차를 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 비실린더형 이동 경계 영역을 고정된 계산 영역으로 매핑하기 위해 좌표 변환을 적용하여 표준 유한요소 이산화를 가능하게 한다.
• 시간 이산화에 크랭크-니콜슨 스킴을 사용하여 시간에 대해 두 번째 차수 정확도와 무조건적 안정성을 확보한다.
• 임의의 차수의 조각별 다항식 기저 함수를 사용한 갈레르킨 유한요소법을 공간 이산화에 적용한다.
• 각 시간 단계에서 비선형 시스템에 선형화 전략을 적용하여 계산 효율성을 향상시키기 위해 선형 시스템의 순차적 해법을 사용한다.
• MATLAB에 의해 구현되며, 최종 시간 T에서 L2(α(T), β(T)) 공간에서 오차 노름이 계산된다.
• 유사한 문제 설정과 해의 측정 기준을 사용하여 이전 연구에서 제안된 이동 유한요소법(MFEM)과의 수치 비교를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 경계를 가진 비국소 파라볼릭 시스템에 대해 선형화된 크랭크-니콜슨-갈레르킨 유한요소법의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 정확도와 오차 제어 측면에서 적응형 이동 유한요소법과 비교할 때 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 임의의 다항식 차수에 대해 공간(h)과 시간(k) 모두에서 최적의 오차 한계를 달성할 수 있는가?
• RQ4 다양한 확산 계수와 비국소 항은 수치 해의 안정성과 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 좌표 변환이 이산 시스템의 조건수와 정확성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법은 공간과 시간 모두에서 최적의 수렴 속도를 달성하며, 다항식 차수 2와 3에 대해 이론적 오차 한계가 수치적으로 확인되었다.
• 수치 실험 결과 공간(h)에서의 수렴 차수는 약 2이며, 시간(k)에서도 약 2로 나타나, 정리 4.1의 이론적 예측과 일치한다.
• 고정된 메쉬와 시간 간격에서 δ(뉴턴-라프슨 해법의 허용 오차)가 작아질수록 오차가 크게 감소함을 확인하여 선형화 과정의 강건성을 입증한다.
• 이동 유한요소법(MFEM)과의 직접 비교에서 제안된 방법은 정확도가 유사하거나 뛰어나며, 후기 시간대에는 오차가 최대 두 자리 수준으로 감소하였다.
• 두 테스트 케이스 모두에서 수치 결과는 이론적 수렴 행동과 [20]의 결과와 뛰어난 일치를 보이며, 방법의 신뢰성을 검증한다.
• 이동 경계와 비국소 비선형성에도 불구하고, 이 방법은 높은 해의 기울기 영역에서도 높은 정확도를 유지하며 오차는 작게 유지된다.