[논문 리뷰] Convergence of the solutions of the discounted Hamilton-Jacobi equation: a counterexample

Bruno Ziliotto|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 18.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 12인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 할인 인자가 0으로 수렴함에도 불구하고, 해밀토니안이 연속적이고 강제적일지라도 할인된 해밀턴-자코비 방정식의 해가 균일 수렴하지 않는다는 추측에 대한 반례를 구성한다. 특정한 행동 집합과 전이 규칙을 가진 1차원 확률적 게임을 통해, 정규화된 값 함수 $ u_\lambda = v_\lambda + c(H)/\lambda $ 가 특정한 수열 $ \lambda_n \to 0 $ 沿해 수렴하지 않음을 보여주며, 비볼록 해밀토니안 하에서 볼륨 솔루션 이론의 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

This paper provides a counterexample about the asymptotic behavior of the solutions of a discounted Hamilton-Jacobi equation, as the discount factor vanishes. The Hamiltonian of the equation is a 1-dimensional continuous and coercive Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 할인 인자가 0으로 수렴함에 따라 정규화된 해 $ u_\lambda $ 가 운동량에 대해 볼록성을 가정하지 않고도 균일 수렴하는지 여부를 해결하는 것.
• 운동량에 대해 볼록성이 없더라도, 특정한 수렴하는 할인 수열에 대해 가족 $ u_\lambda $ 가 수렴하지 않는 연속적이고 강제적인 1차원 해밀토니안을 구성하는 것.
• 해밀턴-자코비 방정식의 해의 점근적 행동과 완전하지 않은 정보를 가진 확률적 게임에서의 극한 값 사이의 관계를 설정하는 것.
• 볼록성 가정 하에서 알려진 수렴 결과가 일반적인 연속적이고 강제적인 해밀토니안으로까지 확장되지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 플레이어 1이 이진 행동 $ \{0,1\} $ 을 가지며, 플레이어 2가 $ J = \{2 - \sqrt{2} + 2^{-2n} \}_{n \geq 1} \cup \{2 - \sqrt{2}\} $ 이라는 가 countable 집합을 가지는 이중 상태 확률적 게임 $ \Gamma $ 를 구성한다.
• 행동의 곱에 따라 의존하는 전이 및 지ay보 함수를 정의하여 비볼록적인 구조를 만든다.
• 할인된 확률적 게임의 가치 함수 $ \gamma_\lambda $ 를 사용하여 이산 근사 방법을 통해 해당 해밀토니안을 구성한다.
• $ v_\lambda $ 가 할인된 HJ 방정식을 만족하므로, $ u_\lambda $ 를 정규화된 해 $ v_\lambda + c(H)/\lambda $ 로 정의한다.
• $ \lambda_n = \frac{2^{-2n}}{3/4 - \sqrt{2}} $ 와 $ \mu_n = \frac{2^{-2n-1}}{3/4 - \sqrt{2}} $ 라는 두 수열에 대해 $ \gamma_\lambda $ 의 점근적 행동을 분석하여 서로 다른 극한을 보인다.
• 플레이어 2의 전략에 대한 $ \gamma_\lambda(y,z) $ 의 하한이 $ \lambda_n $ 과 $ \mu_n $ 에서 서로 다른 극한으로 수렴함을 증명하며, 이는 $ u_\lambda $ 가 수렴하지 않음을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동량에 대해 볼록성이 없더라도, 연속적이고 강제적인 해밀토니안에 대해 할인된 해밀턴-자코비 방정식의 정규화된 해 $ u_\lambda $ 가 $ \lambda \to 0 $ 일 때 균일 수렴하는가?
• RQ2 비볼록성의 부재 하에서 $ u_\lambda $ 의 수렴을 반박하기 위해 확률적 게임 이론을 사용해 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ3 완전하지 않은 정보를 가진 확률적 게임에서, 가치 함수가 수렴하지 않는 수열 $ \lambda_n \to 0 $ 이 존재하는가?
• RQ4 한 명의 플레이어가 조밀한 행동 집합을 가지며 다른 플레이어가 이진 행동을 가지는 1차원 확률적 게임에서 가치 함수의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 연속적이고 강제적인 1차원 해밀토니안에 대해 정규화된 해 $ u_\lambda $ 는 $ \lambda \to 0 $ 일 때 수렴하지 않으며, 오랫동안 남아있던 추측에 대한 반례를 제공한다.
• $ \lambda_n = \frac{2^{-2n}}{3/4 - \sqrt{2}} $ 수열에 대해, 플레이어 2의 전략에 대한 $ \gamma_{\lambda_n}(y,z) $ 의 하한은 $ \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 $ 으로 수렴한다.
• $ \mu_n = \frac{2^{-2n-1}}{3/4 - \sqrt{2}} $ 수열에 대해, 전략에 대한 하한은 $ \frac{5}{2\sqrt{2}} - 1 \approx 0.0607 $ 으로 수렴하며, 이는 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ 보다 엄밀히 크다.
• $ \lambda_n $ 와 $ \mu_n $ 에서 서로 다른 극한이 존재하므로, $ u_\lambda $ 는 $ \lambda \to 0 $ 일 때 균일 수렴하지 않으며, 해밀토니안이 연속적이고 강제적임에도 불구하고 그렇다.
• 반례는 플레이어 2의 행동 집합이 $ 2 - \sqrt{2} $ 근처에 조밀하게 분포해 있어 가치 함수의 진동 행동을 유도할 수 있는 완전하지 않은 정보를 가진 확률적 게임을 통해 구성된다.
• 이 결과는 볼록성 하에서의 $ u_\lambda $ 의 수렴이 연속적이고 강제적인 해밀토니안 전반에 일반적인 특성이 아니며, 균일 수렴을 위해 볼록성은 필수 조건임을 보여준다.