[논문 리뷰] Convergence of uniform noncrossing partitions toward the Brownian triangulation

Jérémie Bettinelli|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 13.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Marchal의 Dyck 경로에서 브라운 운동의 산란으로의 강한 수렴 결과를 활용하여, 정칙 n각형의 균일한 비교행 분할이 하우스도르프 위상에서 Aldous의 브라운 삼등분으로의 약한 수렴에 대한 간결한 증명을 제공한다. 또한 Dyck 경로 인코딩을 기반으로 하는 재귀 알고리즘을 통해 거의 확실히 수렴하는 비교행 분할의 수열을 구성함으로써, 짝수 변을 가진 다각형의 비교행 쌍 분할로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We give a short proof that a uniform noncrossing partition of the regular $n$-gon weakly converges toward Aldous's Brownian triangulation of the disk, in the sense of the Hausdorff topology. This result was first obtained by Curien & Kortchemski, using a more complicated encoding. Thanks to a result of Marchal on strong convergence of Dyck paths toward the Brownian excursion, we furthermore give an algorithm that allows to recursively construct a sequence of uniform noncrossing partitions for which the previous convergence holds almost surely. In addition, we also treat the case of uniform noncrossing pair partitions of even-sided polygons.

연구 동기 및 목표

• 정칙 n각형의 균일한 비교행 분할이 브라운 삼등분으로의 약한 수렴에 대한 보다 단순하고 직접적인 증명을 제공하는 것.
• Dyck 경로 인코딩을 활용한 재귀 수열을 구성하여 거의 확실 수렴을 확립하는 것.
• 짝수 변을 가진 다각형의 균일한 비교행 쌍 분할로 수렴 결과를 확장하는 것.
• 최대 라미네이션 성질을 통해 극한 라미네이션이 거의 확실히 브라운 삼등분임을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 비교행 분할을 Dyck 경로로 인코딩하며, 비교행 분할과 길이 2n인 Dyck 경로 사이의 이분법적 사상(bijection)을 활용한다.
• 스케일링된 Dyck 경로가 브라운 산란으로의 강한 수렴에 관한 Marchal의 결과를 적용하여, 경로 인코딩의 거의 확실 수렴을 보장한다.
• Dyck 경로 인코딩의 수렴은 관련 라미네이션의 하우스도르프 위상에서의 수렴을 암시한다.
• 비교행 쌍 분할의 경우, Kreweras 보완과 길이 2n인 제약이 없는 Dyck 경로를 사용하며, 이 역시 스케일링 하에서 브라운 산란으로 수렴한다.
• 구성에는 정점 삽입 또는 현 절단을 위한 재귀 알고리즘이 포함되어 있으며, 이는 Dyck 경로에 대한 특정 연산에 대응한다.
• 증명은 브라운 삼등분이 포함 관계에서 거의 확실히 최대임을 이용하며, 이에 따라 극한 라미네이션이 그것과 같다면 반드시 브라운 삼등분이어야 한다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 n각형의 균일한 비교행 분할은 하우스도르프 위상에서 브라운 삼등분으로 약하게 수렴하는가?
• RQ2 구성적인 재귀 알고리즘을 통해 이 수렴을 거의 확실 수렴으로 강화할 수 있는가?
• RQ3 짝수 변을 가진 다각형의 균일한 비교행 쌍 분할에 대해서도 동일한 수렴 결과가 성립하는가?
• RQ4 비교행 분할의 Dyck 경로 인코딩은 그 라미네이션의 브라운 삼등분으로의 수렴과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 정칙 n각형의 균일한 비교행 분할은 하우스도르프 위상에서 브라운 삼등분으로 약하게 수렴한다.
• Marchal의 강한 수렴 결과를 활용한 Dyck 경로 연산 기반의 재귀적 구성 덕분에 거의 확실 수렴이 달성된다.
• 극한 라미네이션은 거의 확실히 브라운 삼등분이며, 이는 최대성과 극한이 라미네이션임을 고려할 때 성립한다.
• P_{2n}의 비교행 쌍 분할에 대해서도 브라운 삼등분으로의 수렴이 성립하며, 이 인코딩된 Dyck 경로는 스케일링 후 브라운 산란으로 수렴한다.
• 비교행 분할의 라미네이션과 그에 대응하는 P_{2n}의 비교행 쌍 분할 사이의 하우스도르프 거리는 π/(2n) 이하이다.