[논문 리뷰] Convergence order of upwind type schemes for transport equations with discontinuous coefficients

François Delarue, Frédéric Lagoutière외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 18.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 36인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 불연속적이고 한쪽 방향 리프시츠 연속성 조건을 만족하는 계수를 가진 선형 운반 방정식에 대해 업윈드 유형의 유한체적 스킴의 수렴 차수를 분석한다. 수렴 속도가 워샤르슈타인 거리 $W_p$ 에서 $1/2$ 임을 증명하며, 주어진 조건 하에서 최적성도 입증하고, 전진 반라그랑주 방법을 포함한 다른 일阶 스킴으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

An analysis of the error of the upwind scheme for transport equation with discontinuous coefficients is provided. We consider here a velocity field that is bounded and one-sided Lipschitz continuous. In this framework, solutions are defined in the sense of measures along the lines of Poupaud and Rascle's work. We study the convergence order of the upwind scheme in the Wasserstein distances. More precisely, we prove that in this setting the convergence order is 1/2. We also show the optimality of this result. In the appendix, we show that this result also applies to other "diffusive" "first order" schemes and to a forward semi-Lagrangian scheme.

연구 동기 및 목표

• 불연속적 계수를 가진 선형 운반 방정식에 대해 업윈드 유형 스킴의 오차 수렴을 분석하는 것.
• 속도장의 한쪽 방향 리프시츠 연속성 조건 하에서 측도값 해의 정의에 기반한 워샤르슈타인 거리에서의 수렴 차수를 확립하는 것.
• 이 설정 하에서 $1/2$ 수렴 차수의 최적성을 입증하는 것.
• 기타 일阶 보존 스킴, 전진 반라그랑주 스킴을 포함한 수렴 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 측도값 해의 프레임워크를 사용하여 필리포프 흐름과 푸파드-라스클의 해 개념을 활용한다.
• 수렴은 워샤르슈타인 거리 $W_p$ 에서 분석되며, 속도장의 한쪽 방향 리프시츠(осл) 조건 하에서 안정성 및 오차 추정을 활용한다.
• 핵심 기술 도구로는 [11]에서 유도된 확률적 특성 구축을 응용하여 스킴의 수치 해에서 오차를 근사한다.
• 업윈드 스킴에서 전이 확률 $\lambda^{n}_{i,j}$ 를 제어하여 질량 이동 오차를 제어하는 데 의존한다.
• 총 변동량과 워샤르슈타인 오차를 연결하기 위해 $L^1$ 노름, BV 반노름, $W_1$ 거리 사이의 보간 부등식을 사용한다.
• 보존적, 일阶 이산화의 공통 프레임워크를 통해 결과를 다른 스킴으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불연속적이고 한쪽 방향 리프시츠 연속성 조건을 만족하는 계수를 가진 운반 방정식에 대해 업윈드 스킴의 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ2 해가 측도값으로 정의될 경우 워샤르슈타인 거리에서 수렴 차수를 정량화할 수 있는가?
• RQ3 OSL 조건 하에서 $1/2$ 수렴 차수는 최적적인가?
• RQ4 수렴 결과는 전진 반라그랑주 스킴과 같은 다른 일阶 보존 스킴으로도 확장 가능한가?

주요 결과

• 속도장에 대해 OSL 조건이 만족될 경우, 워샤르슈타인 거리 $W_p$ 에서 $p \geq 1$ 에 대해 업윈드 스킴이 수렴 차수 $1/2$ 를 갖는다.
• 반례를 구성함으로써 $1/2$ 수렴 속도가 최적임을 입증하였으며, 더 빠른 수렴 속도가 가능하지 않음을 보였다.
• 오차 한계는 $W_p(\rho(t^n), \rho_{\Delta x}^n) \leq C e^{2\int_0^{t^n} \alpha(s)ds} (\sqrt{t^n \Delta x} + \Delta x)$ 형태이며, $C$ 는 $\Delta x$ 와 무관하다.
• 유사한 가정 하에 다른 보존적, 일阶 스킴으로도 결과가 확장된다. 전진 반라그랑주 스킴을 포함한다.
• 초기 자료가 유한한 $p$-차수 모멘트를 가지는 확률 측도이므로, 워샤르슈타인 공간 내 적분 가능성을 보장한다.
• 오차 제어에 핵심적인 역할을 하는 새로운 보간 부등식을 제안하며, 이는 $L^1$ 노름, BV 반노름, $W_1$ 거리 사이의 관계를 맺는 데 기여한다.