[논문 리뷰] Convergence Properties of Adaptive Systems and the Definition of Exponential Stability

Benjamin Jenkins, Anuradha M. Annaswamy외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 10.

Adaptive Control of Nonlinear Systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 적응 시스템에서 균일한 점근적 안정성(대역)과 지수적 안정성(대역) 사이의 구분을 명확히 하며, 참조 입력의 지속적 교양 조건이 레그레서의 약한 지속적 교양 조건만 보장할 뿐 지수적 안정성은 보장하지 못함을 보여준다. 또한 개방회로 및 피드백회로 기반 참조 모델 적응 시스템에서 둘 다 느린 수렴 영역이 존재하며, 초기 조건이 클수록 수렴 속도가 감소함을 입증하여 참조 입력의 풍부함에 기반한 전역 지수적 안정성 주장의 부정을 이끌어낸다.

ABSTRACT

The convergence properties of adaptive systems in terms of excitation conditions on the regressor vector are well known. With persistent excitation of the regressor vector in model reference adaptive control the state error and the adaptation error are globally exponentially stable, or equivalently, exponentially stable in the large. When the excitation condition however is imposed on the reference input or the reference model state it is often incorrectly concluded that the persistent excitation in those signals also implies exponential stability in the large. The definition of persistent excitation is revisited so as to address some possible confusion in the adaptive control literature. It is then shown that persistent excitation of the reference model only implies local persistent excitation (weak persistent excitation). Weak persistent excitation of the regressor is still sufficient for uniform asymptotic stability in the large, but not exponential stability in the large. We show that there exists an infinite region in the state-space of adaptive systems where the state rate is bounded. This infinite region with finite rate of convergence is shown to exist not only in classic open-loop reference model adaptive systems, but also in a new class of closed-loop reference model adaptive systems.

연구 동기 및 목표

• 지속적 교양 조건이 참조 입력에 적용되었을 때 균일한 점근적 안정성(대역)(UASL)과 지수적 안정성(대역)(ESL)의 동치성에 관해 적응 제어 문헌에서 혼동이 발생하는 이유를 명확히 하기.
• 참조 입력의 풍부함으로 인해 발생하는 초기 조건에 따라 달라지는 레그레서 벡터의 '약한 지속적 교양'을 정의하고 분석하기.
• 풍부한 참조 입력이 있더라도 비균일한 수렴 속도로 인해 적응 시스템이 지수적 안정성(대역)을 달성할 수 없음을 입증하기.
• 상태 공간 내에서 오차 수렴 속도가 임의로 느려지는 무한한 영역이 존재하며, 이는 지수적 안정성에 기반한 강건성 주장의 기초를 흔들어 놓는다.
• 기존 개방회로 기반 참조 모델(ORM) 시스템의 결과를 새로운 피드백회로 기반 참조 모델(CRM) 시스템으로 확장하여, 동일한 수렴 행동을 확인함.

제안 방법

• 강한(레그레서 기반)과 약한(참조 입력 기반) 교양 조건을 구분하기 위해 지속적 교양의 정의를 재검토하기.
• 다양한 교양 조건 하에서 모델 기반 적응 제어 시스템의 오차 동역학을 분석하며, 특히 레그레서 벡터의 교양 수준에 초점 맞추기.
• 참조 입력이 지속적으로 교양되어 있을 경우 레그레서 벡터가 약한 지속적 교양을 보이는 조건을 유도하고, 이것이 지수적 안정성에는 부족하다는 것을 보여주기.
• 개방회로(ORM) 및 피드백회로(CRM) 기반 참조 모델 적응 시스템의 단계적 프로파일과 시간 시리즈 시뮬레이션을 이용해 수렴 행동을 시각화하기.
• 다양한 초기 조건에 대해 정착 시간 $T_s$ 를 정량화하여, 초기 오차 노름이 클수록 수렴 속도가 감소함을 입증하고, 이는 비지수적 수렴을 시사함.
• ORM 및 CRM 시스템 간 일시적 성능을 비교하여, CRM은 진동을 감소시키지만 큰 초기 오차에서는 수렴 속도 향상이 없다는 점을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 참조 입력의 지속적 교양 조건이 적응 시스템에서 지수적 안정성(대역)을 암시하는가?
• RQ2 참조 입력의 풍부함과 내부 레그레서 벡터의 지속적 교양 수준 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 균일한 점근적 안정성(대역)은 지수적 안정성(대역) 없이 달성될 수 있으며, 이는 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 상태 공간 내에서 수렴 속도가 임의로 느려지는 영역이 존재하는가? 이 영역은 개방회로 및 피드백회로 기반 참조 모델 적응 시스템 모두에 존재하는가?
• RQ5 피드백 이득 $\ell$ 의 선택이 피드백회로 기반 참조 모델에서 수렴 속도와 일시적 행동에 미치는 영향은 개방회로 시스템과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 참조 입력의 지속적 교양 조건은 레그레서 벡터의 약한 지속적 교양 조건을 초래하며, 이는 초기 조건에 따라 달라지며 지수적 안정성(대역)을 확보하는 데에는 부족하다.
• 적응 시스템의 오차 동역학은 비균일한 수렴 속도로 인해 균일한 점근적 안정성(대역)(UASL)은 달성되나 지수적 안정성(대역)(ESL)은 달성되지 않는다.
• 상태 공간 내에서 오차 속도의 노름이 유계인 무한한 영역이 존재하며, 이로 인해 큰 초기 조건에서 수렴 속도가 임의로 느려진다.
• 초기 조건 $z_4$, $z_5$, 및 $z_6$ 에서 ORM 시스템의 정착 시간 $T_s$ 는 5.37에서 8.19초 사이이며, CRM 시스템은 3.69에서 12.74초 사이로, 초기 오차가 클수록 $T_s$ 가 길어진다.
• 동일한 초기 조건 $z_6$ 에서 CRM 시스템은 진동이 감소했음에도 불구하고 ORM 시스템보다 수렴 속도가 느리며, 이는 매끄러움과 속도 사이의 상충 관계를 보여준다.
• 적응 이득 $\gamma$ 와 피드백 이득 $\ell$ 을 함께 증가시키면 ORM 시스템과 유사한 정착 시간을 유지하면서도 CRM 시스템의 진동 감소 효과를 유지할 수 있다.