[논문 리뷰] Convergence rate of stability problems of SDEs with (dis-)continuous coefficients

Hashimoto Hashimoto, Takahiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 나카오-레갈 조건을 만족하는 (불연속적인) 분산 계수를 가진 일차원 확률미분방정식(SDE)의 안정성에 대해 명시적인 수렴 속도를 확립한다. 야마다-와타나베 방법을 사용하여, $L^1$-오차의 경우 순서 $(\log n)^{-1/2}$ 및 $L^p$-초기값 오차의 경우 순서 $(\log n)^{-p/(4(p+1))}$의 경계를 도출한다. 이 경계들은 드리프트 제거에 대해 불변하며, 계수의 $L^1$ 수렴 속도가 $n^{-1}$일 때 성립한다.

ABSTRACT

We consider the stability problems of one dimensional SDEs when the diffusion coefficients satisfy the so called Nakao-Le Gall condition. The explicit rate of convergence of the stability problems are given by the Yamada-Watanabe method without the drifts. We also discuss the convergence rate for the SDEs driven by the symmetric $α$ stable process. These stability rate problems are extended to the case where the drift coefficients are bounded and in $L^1$. It is shown that the convergence rate is invariant under the removal of drift method for the SDEs driven by the Wiener process.

연구 동기 및 목표

• 나카오-레갈 조건을 만족하는 (불연속적인) 분산 계수를 가진 SDE의 해의 수렴 속도를 분석하는 것.
• 대칭 $\alpha$-스테이블 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 안정성 결과를 $\alpha \in (1,2)$로 확장하는 것.
• 유계 $L^1$ 드리프트 계수의 수렴 속도에 대한 영향을 조사하고 드리프트 제거에 대해 불변임을 보이는 것.
• $L^1$ 및 $L^p$ 노름에서의 수렴 속도에 대한 명시적인 정량적 경계를 제공하는 것.

제안 방법

• 나카오-레갈 조건을 만족하는 분산 계수를 가진 SDE에 대해 야마다-와타나베 방법을 적용하여 경로 기반 추정을 도출한다.
• 변환 $s(x) = \int_0^x \sigma(u)^{-2} du$를 사용하여 SDE를 시간 변경 브라운 운동 프레임워크로 환원한다.
• 계수 $\sigma_n$ 이 $\sigma$로 순등수렴하는 속도 $n^{-1}$을 이용하여 척도 함수 $s_n^{-1}$ 과 $s^{-1}$ 간의 차이에 대한 경계를 설정한다.
• 변수 치환 기법과 $L^1$-노름 추정을 활용하여 척도 함수 도함수 및 그 합성의 차이를 제어한다.
• 나카오-레갈 조건의 이차변동 구조를 다루기 위해 함수의 증가수열 $\{f_l\}$ 이 $f$를 근사하도록 사용한다.
• 드리프트 제거 방법을 적용하여, 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에서 수렴 속도가 드리프트 제거에 대해 불변임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나카오-레갈 조건을 만족하는 (불연속적인) 분산 계수를 가진 SDE의 해의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 SDE가 브라운 운동 대신 대칭 $\alpha$-스테이블 과정에 의해 구동될 경우 수렴 속도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 SDE의 드리프트 계수를 제거할 경우 수렴 속도는 그대로 유지되는가?
• RQ4 계수의 $L^1$-수렴 속도가 $n^{-1}$일 때, 명시적인 $L^1$ 및 $L^p$ 수렴 속도를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 드리프트가 없는 SDE에서 $\sigma_n, \sigma \in \mathcal{C}_{NL}(\epsilon, \|f\|_\infty)$ 이면, $L^1$-오차는 $\mathbb{E}[|X(t) - X_n(t)|] \leq C_1 (\log n)^{-1/2}$ 를 만족하며, $0 \leq t \leq T$ 이다.
• $p > 1$ 이면, $L^p$-초기값 오차는 $\mathbb{E}[\sup_{0 \leq t \leq T} |X(t) - X_n(t)|^p] \leq C_p (\log n)^{-p/(4(p+1))}$ 를 만족하며, $n > 2$ 이다.
• 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에서 드리프트가 제거되어도 수렴 속도는 불변이다. 이는 드리프트가 유계이면서 $L^1$에 속할 경우 성립한다.
• 대칭 $\alpha$-스테이블 과정에 의해 구동되는 SDE에서 $\alpha \in (1,2)$ 이면, 유사한 계수 수렴 조건 하에 동일한 수렴 속도가 확립된다.
• $L^1$-수렴 조건 $\int_{\mathbb{R}} |\sigma_n(x) - \sigma(x)| dx \leq C_0 n^{-1}$ 하에서 수렴 속도는 유지된다.
• 유계 $L^1$ 드리프트를 가진 SDE로 결과가 확장되며, 드리프트 제거 후에도 수렴 속도는 그대로 유지된다. 이는 드리프트 제거 방법을 통해 입증된다.