[논문 리뷰] Convergence rates for an optimally controlled Ginzburg-Landau equation

Mattias Sandberg|ArXiv.org|2008. 09. 10.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 해밀턴-자비 방정식의 점성해법 이론을 사용하여, 기하학적-랜드อู 방정식에 의해 지배되는 최적제어 문제에 대해 공간 이산화된 가치함수의 이차수렴성을 입증한다. 시간 이산화에 대해 심플렉틱 오일러 방법을 사용할 경우, 합리적인 안정성 조건 하에서 공간 해상도에 의존하지 않는 상수를 갖는 일계수수렴을 달성한다.

ABSTRACT

An optimal control problem related to the probability of transition between stable states for a thermally driven Ginzburg-Landau equation is considered. The value function for the optimal control problem with a spatial discretization is shown to converge quadratically to the value function for the original problem. This is done by using that the value functions solve similar Hamilton-Jacobi equations, the equation for the original problem being defined on an infinite dimensional Hilbert space. Time discretization is performed using the Symplectic Euler method. Imposing a reasonable condition this method is shown to be convergent of order one in time, with a constant independent of the spatial discretization.

연구 동기 및 목표

• 확률적 기하학적-랜드오우 방정식과 관련된 최적제어 문제에 대한 공간 및 시간 이산화의 수렴성을 분석하기 위해.
• 공간 이산화된 문제의 가치함수가 원래 무한차원 문제의 가치함수로 이차수렴함을 입증하기 위해.
• 공간 이산화에 독립적인 상수를 갖는 심플렉틱 오일러 방법을 사용하여 시간 이산화에서 일계수수렴을 보여주기 위해.
• 무한차원 해밀턴-자비 방정식의 점성해법 이론에 기반한 엄밀한 오차 분석을 제공하기 위해.
• 열적 운동에 의해 유도되는 상전이의 전이 확률을 최적제어를 통해 수치적으로 계산하는 데를 지원하기 위해.

제안 방법

• 상태가 제어된 기하학적-랜드오우 PDE에 의해 지배되며, 최종 상태에 대한 페널티를 포함하는 비용 기능을 최소화하는 방식으로 최적제어 문제를 수립한다.
• 디리클레 경계 조건을 갖는 라플라스 연산자에 의해 생성되는 졸업군을 통한 온화한 해(solution)를 정의한다.
• 무한차원 해밀턴-자비 방정식의 점성해법 이론을 적용하여 가치함수의 수렴성을 분석한다.
• 공간 반이산화를 구현하고, 이산 가치함수가 연속 가치함수로 이르는 이차수렴성을 증명한다.
• 시간 이산화에 대해 심플렉틱 오일러 방법을 사용하고, 안정성 조건 하에서 일계수수렴성을 확립한다.
• 수축사상 원리와 에너지 추정을 활용하여 적절한 함수 공간에서 해의 존재성, 유일성 및 유계성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 반이산화된 최적제어 문제의 가치함수가 원래 무한차원 문제의 가치함수로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ2 이 최적제어 문제의 맥락에서 심플렉틱 오일러 방법의 시간 이산화 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ3 무한차원에서 점성해법 이론을 사용하여 제어된 기하학적-랜드오우 방정식의 가치함수를 엄밀히 분석할 수 있는가?
• RQ4 시간 이산화 오차는 공간 이산화 매개변수에 독립적으로 유계로 유지되는가?
• RQ5 해가 원래의 잠재력 우물 내에 유지되는 조건은 무엇인가? 이는 제어 공식화의 타당성을 보장한다.

주요 결과

• 공간 이산화된 가치함수는essential norm 기준으로 진짜 가치함수로 이차수렴한다.
• 심플렉틱 오일러 방법은 시간에 대해 일계수수렴을 달성하며, 오차 상수는 공간 이산화 매개변수에 영향을 받지 않는다.
• 원래 문제의 가치함수는 점성해법 의미에서 무한차원 해밀턴-자비 방정식을 만족하며, 이는 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 초기 자료가 $ H_0^1 $ 에 속하고 제어가 유계일 경우, $ C(t_0, T; H_0^1) $ 에서 제어된 PDE에 대해 온화한 해의 존재성과 유일성이 확립된다.
• 에너지 추정과 소볼레프 포함 조건을 통해 해가 본래의 이중우물 잠재력 함수를 그대로 사용할 수 있도록 $ L^rown $-노름에서 유계로 유지된다.
• 공간 이산화의 오차 bound는 해의 $ H^1 $-노름을 제어하는 에너지 부등식에서 유도되며, 이는 $ L^rown $-노름에서 일관된 유계성을 이끈다.