[논문 리뷰] Convergence Rates for Approximations of Functionals of SDEs

Rainer Avikainen|ArXiv.org|2007. 12. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 확률적 미분 방정식(SDE) 해의 함수형에 대한 근사의 수렴 속도를 규명한다. 비-Lipschitz 함수, 예를 들어 유계 변동 함수와 지표 함수를 포함한다. 만약 기저 SDE 해가 강한 수렴 속도 $\gamma$로 근사된다면, 계수의 유계 밀도 및 정규성 조건 하에서 함수형 $g(X_T)$의 $L_p$-노름 오차는 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $|\pi|^{\gamma - \varepsilon}$ 속도로 감소함을 증명한다. 옐러 스킴의 경우, $|\pi|^{1/2}$의 매칭 하한 경계가 확립되어 이 속도가 임의로 작은 $\varepsilon$까지 날카롭게 유지됨을 시사한다. 결과는 옐러 및 밀스타인 스킴에 적용되며, Lipschitz 연속 함수형을 초월한 오차 분석을 확장한다.

ABSTRACT

We consider upper bounds for the approximation error E|g(X)-g(\hat X)|^p, where X and \hat X are random variables such that \hat X is an approximation of X in the L_p-norm, and the function g belongs to certain function classes, which contain e.g. functions of bounded variation. We apply the results to the approximations of a solution of a stochastic differential equation at time T by the Euler and Milstein schemes. For the Euler scheme we provide also a lower bound.

연구 동기 및 목표

• SDE 근사의 수렴 속도 분석을 Lipschitz 연속 함수형을 초월하여 유계 변동 함수형과 지표 함수형을 포함하도록 확장한다.
• 옵티멀 스킴을 통해 $X_T$의 근사값 $\hat{X}_T$에 대해 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(\hat{X}_T)|^p$의 상한을 유도한다.
• 옐러 스킴에 대해 하한 경계를 확립하여 수렴 속도가 $|\pi|^{1/2}$를 초과할 수 없음을 보이며, 이는 상한이 거의 날카로운 것을 시사한다.
• 유계 변동 함수형 및 尾 분포로 제어되는 점프 함수형과 같은 함수 클래스를 특정하여, 비-Lipschitz $g$ 하에서도 수렴 속도가 유지되는 조건을 규명한다.
• Burkholder-Davis-Gundy 부등식과 그린발의 부등식을 정교하게 적용하여 수렴 추정치에 명시적인 상수를 제공한다.

제안 방법

• 진동성의 수렴 속도를 제어하기 위해, 특히 옐러 스킴에 대해 진짜 해 $X_t$와 그 근사값 $X_t^\pi$ 간의 차이의 $L_p$-노름을 제한하기 위해 Burkholder-Davis-Gundy 부등식을 사용한다.
• 모멘트 오차의 성장을 통제하기 위해, $p$에 대한 지수적 의존성을 포함하는 개선된 그론발 레미마를 적용한다.
• 이토 적분 표현과 비드 및 확산 계수의 리프시츠 연속성에 기반하여 $X_t - X_s$의 모멘트 경계를 유도한다.
• 유계 변동 함수형을 일반화하고, $g$의 약한 정규성 조건 하에서 $L_p$-오차 추정치를 허용하는 함수 클래스 $\mathcal{G}_{p,\varphi}$를 도입한다.
• 유계 밀도 조건 하에서 $X_T$의 밀도를 기반으로 한 꼬리 추정치와 절단 기법을 사용하여 오차 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p$를 분해함으로써 수렴 속도를 확립한다.
• 기하 브라운 운동을 사용한 반례를 통해, 오차가 $|\pi|^{1/2}$보다 빠르게 수렴할 수 없음을 보이며, 이는 하한 경계를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE 해의 비-Lipschitz 함수형 $g$에 대해 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p$의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 비-Lipschitz $g$에 대해 옐러 스킴의 수렴 속도를 $|\pi|^{1/2}$ 초과로 향상시킬 수 있는가, 아니면 이 속도가 최적인가?
• RQ3 옐러 및 밀스타인 스킴의 수렴 속도가 $g$의 정규성에 따라 어떻게 달라지며, 특히 $g$가 유계 변동 함수형이거나 점프를 가질 경우 어떻게 되는가?
• RQ4 어떤 함수 클래스에서 $L_p$-오차 추정치가 기반 스킴의 수렴 속도를 초월하여 엄밀히 더 우수한가?
• RQ5 SDE 계수 및 종단 분포에 어떤 조건이 성립할 경우, $g(X_T)$의 수렴 속도가 기반 스킴의 속도와 일치하는가?

주요 결과

• 임의의 $\gamma > 0$ 및 $\varepsilon > 0$에 대해, 만약 근사값 $X^\pi$가 $\|X_T - X_T^\pi\|_p \leq C_p^1 |\pi|^\gamma$를 만족한다면, $X_T$의 밀도가 유계이고 $g$가 유계 변동 함수형과 尾 분포로 제어되는 점프 함수형을 포함하는 클래스에 속할 경우, $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^\pi)|^p \leq C_p^2 |\pi|^{\gamma - \varepsilon}$가 성립한다.
• 유계 밀도 가정 하에서 옐러 스킴에 대해 $\gamma = 1/2$를 적용하면, 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\mathbb{E}|g(X_T) - g(X_T^E)|^p \leq C_p^2 |\pi|^{1/2 - \varepsilon}$가 성립한다.
• 밀스타인 스킴에 대해 $\gamma = 1$을 적용하면 오차는 $|\pi|^{1 - \varepsilon}$ 속도로 감소하여, 더 매끄러운 $g$에 대해 향상된 수렴을 보인다.
• 기하 브라운 운동을 사용한 반례를 통해 옐러 스킴에 대해 $|\pi|^{1/2}$의 하한 경계가 확립되었으며, 이는 $|\pi|^{1/2 - \varepsilon}$ 수렴 속도가 거의 최적임을 시사한다.
• $\mathcal{G}_{p,\varphi}$ 함수 클래스는 모든 다항식을 포함하며, 유계 변동 함수형 및 점프 함수형과의 합에 대해 닫혀 있어 광범위한 적용 가능성을 제공한다.
• 상한 경계의 증명은 Burkholder-Davis-Gundy 및 그린발 부등식의 명시적 상수에 의존하며, SDE 경로의 모멘트 추정치를 통해 $p$에 대한 지수적 의존성을 통제한다.