[논문 리뷰] Convergence rates of maximal deviation distribution for projection estimates of Lévy densities

Valentin Konakov, Vladimir Panov|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 레비 밀도의 투영 추정량의 최대 편차 분포에 대해 고주파 설정에서 다항 수렴 속도를 확립한다. 이는 가우시안 과정 근사와 교집합 집합 분석을 기반으로 하는 통합 프레임워크를 사용한다. 또한 정규화된 최대 편차의 점근 분포가 다항 속도로 가우스 분포로 수렴함을 증명하며, 이는 이전의 로그 수렴 속도를 향상시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we consider projection estimates for Lévy densities in high-frequency setup. We give a unified treatment for different sets of basis functions and focus on the asymptotic properties of the maximal deviation distribution for these estimates. Our results are based on the idea to reformulate the problems in terms of Gaussian processes of some special type and to further analyze these Gaussian processes. In particular, we construct a sequence of excursion sets, which guarantees the convergence of the deviation distribution to the Gumbel distribution. We show that the rates of convergence presented in previous articles on this topic are logarithmic and construct the sequences of accompanying laws, which approximate the deviation distribution with polynomial rate.

연구 동기 및 목표

• 고주파 설정에서 레비 밀도의 투영 추정량에 대한 최대 편차 분포의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 삼각함수, 레전드르, 웨이블릿 기저와 같은 다양한 기저 함수들을 동일한 분석 프레임워크 내에서 통합적으로 다루는 것.
• 적절한 수반 법칙의 수열을 구성하여 기존의 로그 수렴 속도를 향상시켜 다항 수렴 속도를 달성하는 것.
• 적절한 교집합 집합의 구성을 통해 최대 편차 분포가 가우스 분포로 수렴하는 것을 확립하는 것.
• 편향과 분산 성분을 포함한 추정량과 진짜 밀도 사이의 편차에 대한 비점근적 분석을 제공하는 것.

제안 방법

• 기저 함수에 따라 인덱싱된 가우시안 과정으로 최대 편차 문제를 재구성하여 극값 이론의 적용을 가능하게 하는 것.
• 편차 분포가 가우스 분포로 수렴하도록 보장하는 가우시안 과정에 대한 교집합 집합의 수열을 구성하는 것.
• 피카운즈 정리와 테일러 전개를 사용하여 과정의 첫 번째 통과 시간의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 표본 경로 행동을 제어하기 위해 공분산 함수에 국소 균일성과 전역 허더 조건을 적용하는 것.
• 레비 과정의 소시간 점근적 성질과 기저 함수의 모멘트 조건을 사용하여 편향과 분산의 경계를 도출하는 것.
• 농도 불등식과 기저 함수의 구조(예: 레전드르 다항식, 웨이블릿)를 활용하여 편차에 대한 균일한 경계를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 투영 추정량과 진짜 레비 밀도 사이의 최대 편차 분포의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 일반적인 기저 함수 하에서 정규화된 최대 편차의 점근 분포가 가우스 분포로 수렴하는 것으로 보일 수 있는가?
• RQ3 기존의 로그 수렴 속도와 제안된 다항 수렴 속도 사이의 수렴 속도는 어떻게 비교되는가?
• RQ4 삼각함수, 레전드르, 웨이블릿 기저와 같은 기저 함수에 대한 어떤 조건이 점근적 근사의 타당성을 보장하는가?
• RQ5 정의역 전역에서 추정량의 편향 항을 균일하게 제어할 수 있는가, 이를 통해 전체 수렴 속도를 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 투영 추정량의 최대 편차 분포는 다항 속도로 가우스 분포로 수렴하며, 이는 이전의 로그 수렴 속도를 향상시킨다.
• 레전드르 다항식 기저의 경우, 명시적인 전개를 가진 수반 법칙의 구성을 통해 편차 분포의 수렴 속도가 다항임을 보였다.
• 추정량의 편향 항은 $ \breve{c} n^{(3\varkappa/2)-1} m^{1/2} $로 경계지며, $ m $과 $ n $의 적절한 선택 하에서는 무시할 수 있다.
• 정규화된 최대 편차는 $ \mathbb{P}\left\{ \sqrt{\frac{T}{m}} \sup_{x\in D} \frac{|\hat{s}_n(x) - \mathbb{E}\hat{s}_n(x)|}{\sqrt{s(x)}} \leq u_m \right\} \to e^{-2e^{-y}} $를 만족하여 가우스 수렴을 확인한다.
• 수반 법칙의 수열 $ W_m $은 $ W_m \to -2e^{-y}(1 + R(m)) $가 되도록 구성되며, $ R(m) \to 0 $은 다항 속도로 수렴한다.
• 증명은 컴acts 집합 위에서의 균일 수렴을 확립하여, 오차 경계가 $ O(n^{-\lambda}) $로 감소하는 가우스 한계 법칙을 오차 경계가 감소하는 방식으로 적용할 수 있다.