[논문 리뷰] Convergence rates of spectral orthogonal projection approximation for functions of algebraic and logarithmatic regularities

Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 02.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐브 유형의 공식과 반-코르푸트 보조정리를 활용하여 대수적 및 로그 특이성을 가진 함수의 스펙트럴 직교 프로젝션(Jacobi, Gegenbauer, 체비셰프)에 대한 최적 수렴 속도를 유도한다. 경계 특이성의 경우, Jacobi 매개변수 $(\alpha,\beta)$ 또는 Gegenbauer 매개변수 $\lambda$를 증가시키면 수렴 속도가 향상되며, 레지온드르 프로젝션은 체비셰프보다 반계수 수렴 속도가 높다. 반면 내부 특이성의 경우 수렴 속도는 이러한 매개변수에 영향을 받지 않는다.

ABSTRACT

Based on the Hilb type formula between Jacobi polynomials and Bessel functions, optimal decay rates on Jacobi expansion coefficients are derived, by applying van der Corput type lemmas, for functions of logarithmatic singularities, which leads to the optimal convergence rates on the Jacobi, Gegenbauer and Chebyshev orthogonal projections. It is interesting to see that for boundary singularities, one may get faster convergence rate on the Jacobi or Gegenbauer projection as $(α,β)$ and $λ$ increases. The larger values of parameter, the higher convergence rates can be achieved. In particular, the Legendre projection has one half order higher than Chebyshev. Moreover, if $\min\{α,β\}>0$ and $λ>\frac{1}{2}$, the Jacobi and Gegenbauer orthogonal projections have higher convergence orders compared with Legendre. While for interior singularity, the convergence order is independent of $(α,β)$ and $λ$.

연구 동기 및 목표

• 대수적 및 로그 특이성을 가진 함수의 스펙트럴 직교 프로젝션에 대한 최적 수렴 속도를 확립하기.
• 경계 특이성과 내부 특이성에 대해 Jacobi 매개변수 $(\alpha,\beta)$와 Gegenbauer 매개변수 $\lambda$에 따른 수렴 속도의 의존성 분석하기.
• 이전 프레임워크에서 관찰된 로그 또는 분수 특이성을 가진 함수에 대한 수렴 속도의 비최적성 해결하기.
• 일반화된 분수 차수의 Gegenbauer 함수로 분석을 확장하고 전개 계수에 대한 날카운계 bound 제공하기.

제안 방법

• Jacobi 다항식과 베셀 함수 사이의 관계를 연결하는 Hilb-type 공식을 사용하여 Jacobi 전개 계수의 渐近적 추정을 유도한다.
• 이명적 적분을 분석하기 위해 반-코르푸트 유형의 보조정리를 적용한다.
• 경계 특이성 $(1\pm x)^\gamma \ln^\mu(1\pm x)$과 내부 특이성 $|x-z_0|^s \ln^\mu|x-z_0|$의 함수에 대한 계수의 감쇠율을 확립한다.
• 계수 감쇠를 가중된 소볼레프 노름 $H^{m,\alpha,\beta}(\Omega)$에서의 수렴 속도로 변환한다. 여기서 $\Omega = (-1,1)$이다.
• 매개변수 관계 $\alpha = \beta = \lambda - 1/2$와 $\alpha = \beta = -1/2$를 각각 활용하여 Gegenbauer 및 체비셰프 프로젝션에 대한 최적 추정을 유도한다.
• 특이점 분리와 최소-최대 계수 bound를 사용하여 다중 특이점을 가진 일반 함수로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계점 또는 내부점에서 로그 특이성을 가진 함수에 대해 Jacobi, Gegenbauer, 체비셰프 프로젝션의 수렴 속도는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 경계 특이성과 내부 특이성에 대해 매개변수 $\alpha$, $\beta$, $\lambda$에 따른 수렴 속도의 의존성은 무엇인가?
• RQ3 이전 프레임워크에서 관찰된 로그 특이성에 대한 비최적 수렴은 새로운 渐近적 분석을 통해 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 특이성이 $|x - z_0|^s \ln^\mu|x - z_0|$인 함수에 대해 전개 계수의 최적 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ5 다양한 정규성 및 특이성 조건 하에서 레지온드르, 체비셰프, 일반 Jacobi 프로젝션 간의 수렴 차수는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 경계 특이성 $f(x) = (1-x)^\gamma \ln^\mu(1-x)g(x)$에서 $g \in C^\infty[-1,1]$인 경우, Jacobi 프로젝션의 수렴 속도는 $\mathcal{O}(N^{m - \alpha - 2\gamma - 1} \ln^\mu N)$이며, $\alpha$가 클수록 향상된다.
• 레지온드르 프로젝션($\alpha = \beta = 0$)은 체비셰프보다 반계수 수렴 속도가 높으며, $\mathcal{O}(N^{m - 1/2 - 2\gamma} \ln^\mu N)$이다.
• $\min\{\alpha,\beta\} > -1/2$ 및 $\lambda > 1/2$일 경우, Jacobi 및 Gegenbauer 프로젝션은 수렴 차수에서 레지온드르를 능가한다.
• 내부 특이성 $f(x) = |x - z_0|^s \ln^\mu|x - z_0|g(x)$의 경우, 수렴 속도는 $\mathcal{O}(N^{m - s - 1/2} \ln^\mu N)$이며, $\alpha$, $\beta$, $\lambda$에 영향을 받지 않는다.
• $\gamma, \delta$가 정수이고 $\mu \geq 1$일 경우, 로그 인자 $\ln^{\mu-1} N$으로 감소하여 경계 특이성의 수렴이 향상된다.
• 특이점 분리 기법을 통해 다중 특이점으로의 결과 확장을 통해, 모든 특이성 기여의 최소값을 포함하는 계수 감쇠 속도를 도출할 수 있다.