[논문 리뷰] Convergence rates of truncated EM scheme for NSDDEs

Li Tan, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 18.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 순수 점프 과정에 의해 구동되는 중립형 확률적 미분 지연 방정식(NSDDEs)에 대해 잘라낸 옐러-마르야모프(EM) 스킴의 수렴 속도를 확립한다. 국소 리프시츠 조건과 한쪽 리프시츠 조건, 그리고 카스미스크이 유형의 성장 조건 하에서, 저자들은 강한 수렴 속도 $ O(\Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p) $ 를 증명한다. 여기서 $ \overline{g}(\Delta) $ 는 잘라내기 임계값을 제어하며, 비글로벌 리프시츠 계수를 가진 NSDDEs에 대한 강력한 수치적 방법을 제공한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with strong convergence of the truncated Euler-Maruyama scheme for neutral stochastic differential delay equations driven by Brownian motion and pure jumps respectively. Under local Lipschitz condition, convergence rates of the truncated EM scheme are given.

연구 동기 및 목표

• 비글로벌 리프시츠 계수를 가진 중립형 확률적 미분 지연 방정식(NSDDEs)에 대해 수치적으로 안정적이고 수렴하는 스킴을 개발하는 것.
• 이전에 SDEs에 사용된 잘라낸 EM 방법을 브라운 운동과 순수 점프 과정에 의해 구동되는 NSDDEs로 확장하는 것.
• 국소 리프시츠 조건과 한쪽 리프시츠 조건 하에서 명시적인 수렴 속도를 유도하며, 카스미스크이 유형의 성장 조건을 포함하는 것.
• 수치적 해가 초과하지 않고 유한 시간 내에 폭발하지 않도록 보장하며, 초선형 성장 조건 하에서도 모멘트 유계성을 유지하는 것.

제안 방법

• 큰 값에서 계수의 유계성을 보장하기 위해, 잘라내기 함수 $ f^{-1}(g(\Delta)) $ 를 사용해 기댓값과 확산 계수를 수정함으로써 잘라낸 EM 스킴을 제안한다.
• 정확한 해의 성장 제어를 위해 정지 시간 $ \tau_R $ 를 도입하고, 확률적 큰 이격을 유계화하기 위해 모멘트 추정을 사용한다.
• 이토의 공식과 그로워발 유형 부등식을 적용하여 정확한 해와 수치적 해의 모멘트 유계를 도출한다.
• 잘라내기 임계값을 제어하는 함수 $ \overline{g}(\Delta) $ 를 도입하며, 이는 최종 수렴 속도 추정에 나타난다.
• 정확한 해의 존재성, 유일성 및 모멘트 안정성을 보장하기 위해 가정 (A1)–(A3) 를 사용한다.
• 드리프트 및 확산 항의 성장을 제어하기 위해 카스미스크이 유형 조건 (A3) 을 적용하여, 국소 리프시츠 조건 하에서도 수렴 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동에 의해 구동되는 NSDDEs에 대해 국소 리프시츠 조건과 카스미스크이 유형 조건 하에서 잘라낸 EM 스킴의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 수렴 속도는 잘라내기 함수 $ g(\Delta) $ 에 따라 어떻게 달라지며, 스텝 크기 $ \Delta $ 에 따라 정량화할 수 있는가?
• RQ3 초선형 성장하는 드리프트 및 확산 계수를 가진 NSDDEs에 대해 잘라낸 EM 스킴이 안정성과 수렴성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 순수 점프 과정에 의해 구동되는 NSDDEs에 대해, 특히 한쪽 리프시츠 조건과 초선형 성장 조건 하에서 이 스킴은 어떻게 작동하는가?
• RQ5 함수 $ \overline{g}(\Delta) $ 는 잘라내기와 수렴 속도 사이의 균형을 어떻게 담당하는가?

주요 결과

• 브라운 운동에 의해 구동되는 NSDDEs에 대해 국소 리프시츠 조건과 카스미스크이 유형 조건 하에서 잘라낸 EM 스킴은 강한 수렴 속도 $ O(\Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p) $ 를 달성한다.
• 수렴 속도는 잘라내기 함수 $ \overline{g}(\Delta) $ 에 명시적으로 의존하며, $ \Delta \to 0 $ 일 때 증가함으로써 안정성과 정확성 사이의 상충 관계를 반영한다.
• 특수한 경우 $ D(y) = \frac{1}{2}\sin y $, $ b(x,y) = x - x^3 + \cos y $, $ \sigma(x,y) = |x|^{3/2} $ 에서 조건 (A1)–(A4) 가 만족됨을 확인하여 이론적 프레임워크의 타당성을 검증한다.
• 정확한 해는 $ \sup_{0 \leq t \leq T} \mathbb{E}|X(t)|^p \leq C $ 와 $ \mathbb{P}(\tau_R \leq T) \leq C / R^p $ 를 만족하여 모멘트 안정성을 보장한다.
• 잘라낸 스킴은 정확한 해의 모멘트 유계를 유지하며, 수치적 해는 $ \mathbb{E}(\sup_{0 \leq t \leq T} |X(t) - Y(t)|^p) \leq C \Delta^{1/2} \overline{g}(\Delta)^p $ 를 만족한다.
• 분석을 통해 잘라낸 EM 스킴이 비글로벌 리프시츠 계수를 가진 NSDDEs에 효과적으로 적용됨을 확인하였으며, 초선형 성장과 한쪽 리프시츠 드리프트를 포함한 경우에도 적용 가능하다.