[논문 리뷰] Convergence to stable limits for ratios of trimmed Levy processes and their jumps

Yuguang Ipsen, Péter Kevei외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 25.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 안정 분포로의 도메인의 영향 조건 하에서 시간 t↓0 일 때 r-자르기 Lévy 과정의 비율과 그 r개의 최대 점프들 간의 분포적 동시 수렴을 수립한다. 조건부 분포의 특성 함수 항등식을 유도하고, 이러한 비율들이 한계 안정 과정의 대응하는 양상으로 수렴함을 증명하며, 이는 이전의 서브오르도레이터 결과를 일반화하고 무한 단체 위의 새로운 이산 분포를 도출한다.

ABSTRACT

We derive characteristic function identities for conditional distributions of an r-trimmed Levy process given its r largest jumps up to a designated time t. Assuming the underlying Levy process is in the domain of attraction of a stable process as t goes to 0, these identities are applied to show joint convergence of the trimmed process divided by its large jumps to corresponding quantities constructed from a stable limiting process. This generalises related results in the 1-dimensional subordinator case developed in Kevei & Mason (2014) and produces new discrete distributions on the infinite simplex in the limit.

연구 동기 및 목표

• r-자르기 Lévy 과정의 조건부 분포에 대한 특성 함수 항등식을 유도하기 위해.
• 시간 t↓0 일 때, 자르기 과정의 비율과 그 r번째로 큰 점프 간의 동시 수렴을 수립하기 위해.
• 1차원 서브오르도레이터에 대한 이전 결과(Kevei & Mason, 2014)를 안정 법칙의 영향 도메인에 있는 다차원 Lévy 과정으로 일반화하기 위해.
• 0<α<1인 경우 일반화된 포isson-디리클레 분포 PDα(r)로 한계 분포를 기술하고, 중심화를 통해 α>1인 경우를 다루기 위해.
• 연속성 또는 밀도 가정 없이 일반 Lévy 측도를 가진 Lévy 과정으로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• Lévy-Itô 분해와 Lévy 측도의 성질을 이용하여, r-자르기 Lévy 과정의 조건부 분포에 대한 정확한 특성 함수 항등식을 유도한다.
• 이 항등식을 활용하여 자르기 과정과 그 큰 점프들에 대한 비율의 특성 함수를 분석한다.
• 시간 t↓0 일 때 안정 법칙으로 수렴하기 위해 Lévy 과정의 도메인의 영향 조건을 적용한다.
• 정규화된 자르기 과정의 라플라스 변환에 대한 균일한 경계를 확보하기 위해, 극한 근처의 Lévy 측도 행동을 제어하기 위해 정규 변동성 및 역 尾함수 기법(예: Π̄⁺←)을 사용한다.
• 특성 함수의 지수의 점근적 분석과 적분 추정을 통해 라플라스 변환의 균일한 경계를 확립한다.
• 파투의 보조정리와 확률적 수렴을 적용하여, 자르기 점프의 수가 증가함에 따라 정규화된 자르기 과정이 확률적으로 0으로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lévy 과정이 안정 법칙의 영향 도메인에 있을 때, 시간 t↓0 일 때 r-자르기 Lévy 과정의 비율과 그 r번째로 큰 점프는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 시간 t↓0 일 때, 자르기 과정의 비율과 그 r개의 최대 점프들 간의 한계 공동 분포는 무엇인가?
• RQ3 한계 분포는 0<α<1인 경우 일반화된 포isson-디리클레 분포 PDα(r)와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 α>1인 경우, 과정이 서브오르도레이터가 아니며 포isson-디리클레 분포와 직접적인 연결이 없으므로, 어떤 수정이 필요한가?
• RQ5 연속성 또는 밀도 가정 없이 일반 Lévy 측도를 가진 Lévy 과정으로 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 t↓0 일 때, r-자르기 Lévy 과정의 비율과 그 r개의 최대 점프들 간의 공동 분포는 한계 안정 과정에서 구성된 대응 비율로 약한 수렴을 이룬다.
• 0<α<1인 경우, 한계 분포는 일반화된 포isson-디리클레 분포 PDα(r)이며, 이는 PD(α,0) 분포를 특수한 경우로 포함한다.
• α>1인 경우, 과정은 적절히 중심화되어야 수렴이 가능하며, 한계 분포는 직접적으로 포isson-디리클레 분포와 관련이 없다.
• 수렴은 t∈(0,t₀] 전역에서 균일하며, 자르기 점프의 수가 증가함에 따라 정규화된 자르기 과정에 대해 확률적으로 성립한다.
• 증명은 Lévy 측도와 역 꼬리 함수의 점근적 분석을 통해 유도된 정규화된 자르기 과정의 라플라스 변환에 대한 균일한 경계에 기반한다.
• 이전의 서브오르도레이터 작업(Kevei & Mason, 2014)을 Lévy 측도에 연속성 가정 없이 일반 Lévy 과정으로 확장한다.