[논문 리뷰] Convergent sequences in minimal groups

Dmitri Shakhmatov|ArXiv.org|2009. 01. 01.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 무한한 최소 아벨 군이 비자명한 수렴하는 수열을 포함함을 입증하며, 컴팩트 군에 대한 고전적 결과를 일반화한다. 또한 아벨 조건이 필수적임을 보이며, 각각의 비가산 정칙 기수 κ에 대해, 비자명한 수렴하는 수열이 없고, 모든 컴팩트 부분집합이 유한하며, 모든 몫군이 최소인, 비아벨 최소 군을 자유군 F(κ) 위에 구성한다.

ABSTRACT

A Hausdorff topological group G is minimal if every continuous isomorphism f : G --> H between G and a Hausdorff topological group H is open. Clearly, every compact Hausdorff group is minimal. It is well known that every infinite compact Hausdorff group contains a non-trivial convergent sequence. We extend this result to minimal abelian groups by proving that every infinite minimal abelian group contains a non-trivial convergent sequence. Furthermore, we show that "abelian" is essential and cannot be dropped. Indeed, for every uncountable regular cardinal kappa we construct a Hausdorff group topology T_kappa on the free group F(kappa) with kappa many generators having the following properties: (i) (F(kappa), T_kappa) is a minimal group; (ii) every subset of F(kappa) of size less than kappa is T_kappa-discrete (and thus also T_kappa-closed); (iii) there are no non-trivial proper T_kappa-closed normal subgroups of F(kappa). In particular, all compact subsets of (F(kappa), T_kappa) are finite, and every Hausdorff quotient group of (F(kappa), T_kappa) is minimal (that is, (F(kappa), T_kappa) is totally minimal).

연구 동기 및 목표

• 무한한 컴팩트 하우스도르프 군이 비자명한 수렴하는 수열을 포함한다는 고전적 결과를 최소 아벨 군의 범주로 확장하는 것.
• 이 확장에서 아벨 조건이 필수적인지 여부를 비아벨 케이스의 반례를 통해 조사하는 것.
• 최소성만으로도 비아벨 군에서 비자명한 수렴하는 수열의 존재를 보장하지 못함을 보여주는 것.
• 비가산 정칙 기수 κ에 대해 자유군 F(κ) 위에 강력한 최소성과 위상적 성질을 갖는 하우스도르프 군 위상 T_κ를 구성하는 것.
• 해당 군이 완전 최소이며, 비자명한 닫힌 정규부분군이 없고, 모든 컴팩트 부분집합이 유한함을 보여주는 것.

제안 방법

• 프로단오프와 스테펜슨의 최소성 기준을 사용하여, 컴팩트 군의 최소 밀집 부분군을 본질성으로 특성화한다.
• 자유군 F(κ)에 위상 구조를 부여하기 위해, 밀집 부분군 G_κ와의 동형사상으로 인해 무한 대칭군 S(X_κ)에 통합한다.
• S(X_κ)에서 유도된 부분공간 위상으로 F(κ) 위에 위상을 정의하며, 유한 부분집합 Z와 임베딩 함수 φ에 따라 인덱스가 매겨진 열린 집합의 기저 W(X_κ, Z, φ)를 사용한다.
• 각 γ < κ에 대해, 동형사상 하에서 F(T_γ)의 이미지가 G_κ 내에서离산임을 증명하기 위해, 평가 함수 J_γ의 단사성을 이용한다.
• κ의 정칙성을 활용하여, 크기가 κ 미만인 모든 부분집합이 어떤 F(T_γ)에 포함됨을 보이며, 이로 인해 이들의 이산성도 유도한다.
• 역극한 구조와 임계성의 성질을 이용하여, S(X_κ) 위상에서의 기본 열린 집합이 항상 G_κ와 만남을 이룸을 보여, G_κ가 S(X_κ)에서 밀집임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 무한한 최소 아벨 군은 비자명한 수렴하는 수열을 포함하는가?
• RQ2 최소 군에서 비자명한 수렴하는 수열의 존재에 있어 아벨 조건은 필수적인가?
• RQ3 최소 비아벨 군이 비자명한 수렴하는 수열을 포함하지 않을 수 있는가?
• RQ4 자유군에 최소 군 위상으로 어떤 위상적·대수적 성질을 부여할 수 있는가?
• RQ5 모든 컴팩트 부분집합이 유한하고, 비자명한 닫힌 정규부분군이 없는 최소 군이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 무한한 최소 아벨 군은 비자명한 수렴하는 수열을 포함하며, 컴팩트 군에 대한 고전적 결과를 일반화한다.
• 모든 비가산 정칙 기수 κ에 대해, 자유군 F(κ) 위에 하우스도르프 군 위상 T_κ가 존재하며, (F(κ), T_κ)는 최소이다.
• (F(κ), T_κ)에서 크기가 κ 미만인 모든 부분집합은 이산적이고 닫혀 있으며, 이는 모든 컴팩트 부분집합이 유한함을 의미한다.
• 군 (F(κ), T_κ)는 비자명한 진정한 닫힌 정규부분군이 없으며, 모든 하우스도르프 몫군이 최소하다 (즉, 완전 최소이다).
• 이 구성은 F(κ)를 S(X_κ)에 밀집된 동형 이미지 G_κ로 통합함에 기반하며, 위상은 S(X_κ)에서 유도된다.
• F(κ)와 G_κ 사이의 동형사상은 T_κ가 최소 군 위상임을 보장하며, G_κ가 S(X_κ)에서 밀집임을 이용해 (F(κ), T_κ)의 최소성과 완전 최소성을 유도한다.