[논문 리뷰] Convergents as approximants in continued fraction expansions of complex numbers with Eisenstein integers

S. G. Dani|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 22.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아이젠슈타인 정수에서 연분수 전개의 수렴근이 최적의 근사값임을 증명하며, 임의의 복소수 $ z $에 대해 모든 $ q \in \mathbb{Z}[\omega] $ 에 대해 $ |qz - p| $ 의 근사 오차가 $ \frac{1}{2} |q_n z - p_n| $ 이하로 둔감하게 제한됨을 보인다. 또한, 연분수 전개에서 부분몫이 유계인 것으로 악수적 근사가 불가능한 복소수를 특성화한다.

ABSTRACT

Let $\frak E$ denote be the ring of Eisenstein integers. Let $z\in \mathbb C$ and $p_n,q_n \in \frak E$ be such that $\{p_n/q_n\}$ is the sequence of convergents corresponding to the continued fraction expansion of $z$ with respect to the nearest integer algorithm. Then we show that for any $q\in \frak E$ such that $1\leq |q|\leq |q_n|$ and any $p\in \frak E$, $|qz-p|\geq \frac12 |q_nz-p_n|$. This enables us to conclude that $z\in \mathbb C$ is badly approximable, in terms of Eisenstein integers, if and only if the corresponding sequence of partial quotients is bounded.

연구 동기 및 목표

• 실수 연분수의 전통적 최적 근사 개념을 아이젠슈타인 정수를 사용한 복소 연분수로 확장하는 것.
• 복소 평면에서 아이젠슈타인 정수 환 $ \mathbb{Z}[\omega] $ 에서의 수렴근에 의한 근사 품질에 하한을 설정하는 것.
• 아이젠슈타인 정수 연분수 전개에서 부분몫이 유계임으로써 악수적 근사가 불가능한 복소수를 특성화하는 것.
• 최적 상수의 차이를 고려하여 아이젠슈타인 정수와 가우스 정수에서의 근사 품질을 비교하는 것.

제안 방법

• 아이젠슈타인 정수 환 $ \mathfrak{E} = \mathbb{Z}[\omega] $ 에서의 가장 가까운 정수 알고리즘을 사용하며, 여기서 $ \omega $ 는 비자명한 단위근이다.
• 반복적인 가장 가까운 정수 매핑을 통해 연분수 전개를 정의하고, 수열 $ \{a_n\} $, $ \{p_n\} $, $ \{q_n\} $ 을 생성하며, $ p_n/q_n $ 은 수렴근이 된다.
• 수렴근 $ p_n $ 과 $ q_n $ 에 대한 재귀 관계를 적용하고, 근사 오차를 연분수 꼬리와 연결하기 위해 항등식 $ |q_n z - p_n| = |z_{n+1} q_n + q_{n-1}|^{-1} $ 을 사용한다.
• 기하학적 및 대수적 추정을 통해 $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{3} $, $ |r_n| = |q_{n-1}/q_n| $, 그리고 $ |\beta z_{n+1} - \alpha| $ 의 추정치를 사용하여 핵심 부등식을 유도한다.
• 모순을 통해 모든 $ \alpha, \beta \in \mathfrak{E} $ 에 대해 $ |\beta z_{n+1} - \alpha| \geq \frac{1}{2} $ 임을 보이고, 이를 통해 주요 결과를 도출한다.
• 결과를 활용하여 악수적 근사가 불가능한 수를 부분몫 $ \{|a_n|\} $ 가 유계임으로써 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ q \in \mathfrak{E} $ 에 대해 $ |qz - p| \geq c |q_n z - p_n| $ 를 만족시키는 최적의 상수 $ c $ 는 무엇인가? 조건은 $ |q| \leq |q_n| $ 이다.
• RQ2 아이젠슈타인 정수 연분수에서의 수렴근은 다른 근사값에 비해 근사 품질에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 아이젠슈타인 정수 환에서 악수적 근사가 불가능한 복소수는 그 연분수 전개에서 부분몫이 유계임으로써 특성화될 수 있는가?
• RQ4 왜 아이젠슈타인 경우에서는 상수가 $ \frac{1}{2} $ 이 되는가? 반면 가우스 정수에서는 $ \frac{1}{5} $ 가 성립한다.
• RQ5 아이젠슈타인 정수 환 $ \mathfrak{E} $ 가 $ \mathfrak{G} $ 보다 더 강한 근사 하한을 가능하게 하는 기하학적 및 대수적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 $ z \in \mathbb{C} $ 에 대해, 수렴근 $ p_n/q_n $ 이 모든 $ p, q \in \mathfrak{E} $ 에 대해 $ 1 \leq |q| \leq |q_n| $ 를 만족할 때 $ |qz - p| \geq \frac{1}{2} |q_n z - p_n| $ 를 만족함을 증명하며, $ \frac{1}{2} $ 가 최적의 상수임을 입증한다.
• 상수 $ \frac{1}{2} $ 는 날카롭게 작용하며, 아이젠슈타인 격자 기하학과 하한 $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{3} $ 에 기인한다.
• 아이젠슈타인 정수에서 악수적 근사가 불가능한 복소수는 부분몫이 유계임으로써 특성화된다: $ z $ 가 악수적 근사가 불가능할 조건은 $ \{|a_n|\} $ 가 유계임이다.
• 증명은 모순에 기반하며, $ |\beta z_{n+1} - \alpha| $ 가 $ \frac{1}{2} $ 이하일 수 없음을 보이며, $ |\beta| \geq \sqrt{3} $ 와 $ |r_n| \leq \sqrt{2/3} $ 또는 $ |r_{n-1}| \leq \sqrt{2/3} $ 를 사용한다.
• 결과는 가우스 정수의 경우와 대조되며, 그 경우 최적 상수는 $ \frac{1}{5} $ 이며, 이는 $ |z_{n+1}| \geq \sqrt{2} $ 의 더 약한 하한 때문이 다.
• 부분몫이 유계임으로써 악수적 근사가 불가능한 수의 특성화는 고전적인 실수 경우와 유사하지만, 이제 아이젠슈타인 정수 환 $ \mathfrak{E} $ 에서의 복소수 설정에서도 성립한다.