[논문 리뷰] Converting the reset

Jiri Hoogland, Christoph Neumann외 1명|arXiv (Cornell University)|2001. 04. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 추가 상태 변수를 도입하지 않고 리셋 기능이 있는 콜라블 본드를 계산적으로 효율적으로 평가하기 위한 방법을 제시한다. 리셋을 점프 조건으로 간주함으로써 다변수 모델의 복잡성 없이 일변수 PDE를 이용한 더 빠르고 정확한 가격 설정이 가능하다. 수치적 기준을 바꾸어 리셋 가능한 콜라블 본드가 미국형 룩백 옵션과 동일시됨을 보여주며, 이는 결정론적 경우를 넘어 정규화된 이자율과 신용 리스크 하에서도 유효함을 입증한다.

ABSTRACT

We give a simple algorithm to incorporate the effects of resets in convertible bond prices, without having to add an extra factor to take into account the value of the reset. Furthermore we show that the effect of a notice period, and additional make-whole features, can be treated in a straightforward and simple manner. Although we present these results with the stockprice driven by geometric Brownian and a deterministic interest term structure, our results can be extended to more general cases, e.g. stochastic interest rates.

연구 동기 및 목표

• 기존에 추가 상태 변수가 필요로 하는 리셋 기능이 있는 콜라블 본드의 가격 설정을 단순화하기 위해.
• 특정 일자에서 리셋을 점프 조건으로 간주함으로써 다차원 PDE나 트리 모델을 피하기 위해.
• 통보 기간과 메이크-홀 페처를 효과적인 경계 조건을 통해 통합하기 위해.
• 수치 기준 전환을 통해 리셋 가능한 콜라블 본드와 미국형 룩백 옵션 간의 관계를 수립하기 위해.
• 결정론적 경우를 넘어서 정규화된 이자율과 신용 리스크 하에서도 방법이 유효함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 비현금화된 자산을 피하고, 특히 콜라블 본드를 거래 가능한 자산—즉, 콜라블 본드와 주식—을 사용하여 모델링한다.
• 주가에 대한 일변수 PDE를 사용하여 가격 설정 문제를 재구성하며, 전환, 콜러블리티, 푸터블리티를 반영한 경계 조건을 포함한다.
• 리셋은 리셋 일자에 발생하는 점프 조건으로 통합되며, 전환 비용이 명시된 가치와 동일하게 전환 비율이 조정된다.
• 통보 기간은 통보 창에서 보유자가 여전히 가진 선택권을 반영하기 위해 효과적인 콜 경계를 조정함으로써 모델링된다.
• 수치 기준 전환을 통해 문제를 주가의 가중 최대값을 포함하는 문제로 변환함으로써, 미국형 룩백 옵션과 연결된다.
• 수치적 방법은 '거래 가능한 방법'—즉, 거래 가능한 급수를 정확히 해결하는 유한차분 방법—을 사용하여 정확성과 안정성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리셋 기능이 있는 콜라블 본드의 가격 설정에서 추가 상태 변수를 도입하지 않고도 가능한가?
• RQ2 통보 기간과 메이크-홀 페처는 수치적 가격 설정 프레임워크에 어떻게 통합될 수 있는가?
• RQ3 리셋 가능한 콜라블 본드와 룩백 옵션 간에 수학적 동치성이 존재하는가?
• RQ4 결정론적 이자율 하에서 다변수 PDE에서 일변수 PDE로의 복잡성 감소가 가능한가?
• RQ5 이 방법은 정규화된 이자율과 신용 리스크 하에서도 강건하고 확장 가능한가?

주요 결과

• 추가 요소 없이 PDE의 복잡성을 줄여 계산 복잡도를 감소시키고 속도를 향상시켰다.
• 리셋은 특정 일자에서 점프 조건으로 효과적으로 모델링되어 정확성을 유지하면서 알고리즘을 단순화했다.
• 리셋 일자 근처에서 리셋 가능한 콜라블 본드의 델타와 감마는 주가 변화에 덜 민감해지며, 감마는 음수가 될 수 있다.
• 모델은 항상 시장 가격보다 높은 가격을 산출하며, 이는 시장가가 내재된 옵션을 과소평가하고 있음을 시사한다. 이는 임의의 변동성(40%)이 역사적 변동성(55%)보다 크게 낮다는 것을 의미한다.
• 수치 기준 전환을 통해 미국형 룩백 옵션과의 동치성이 수학적으로 입증되었으며, 리셋 기능이 과거 주가의 최대값과 연결됨을 보여준다.
• 유한차분 방법인 '거래 가능한 방법'은 경계층 근처에서 표준 크랭크-니콜슨 방법보다 정확성과 안정성 면에서 뛰어나다.