[논문 리뷰] Convex analysis in normed spaces and metric projections onto convex bodies

Vitor Balestro, Horst Martini외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 23.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 노름 공간에서, 노름이 매끄럽고 엄밀히 볼록할 경우, 볼록체의 외부에서 거리 함수가 미분 가능하며, 이 경우 노름 기울기는 단위 외부 법선과 일치함을 증명한다. 쌍대 공간을 식별하기 위해 레지오드르 변환을 사용하며, 이는 표준 내적에 의한 이중성 대체를 포함한다. 이와 함께 노름의 하위기울기와 기울기를 도입하고, 이를 비르호프 수직성과 연결하여, 미분 가능성은 정확히 노름이 매끄럽고 엄밀히 볼록할 때에만 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

We investigate metric projections and distance functions referring to convex bodies in finite-dimensional normed spaces. For this purpose we identify the vector space with its dual space by using, instead of the usual identification via the standard inner product, the Legendre transform associated with the given norm. This approach yields re-interpretations of various properties of convex functions, and new relations between such functions and geometric properties of the studied norm are also derived.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 노름 공간에서 볼록체에 대한 거리 함수의 미분 가능성 조건을 규명한다.
• 특히 노름이 매끄럽고 엄밀히 볼록할 경우, 일반 노름 공간에서 볼록체로의 거리 함수의 미분 가능성에 대해 연구한다.
• 표준 내적에 의한 이중성 대체로, 레지오드르 변환을 사용하여 볼록 함수의 노름 기울기와 노름 하위기울기를 정의하고 연구한다.
• 볼록체의 경계에서 거리 함수의 하위기울기를 정규 쌍대선과 비르호프 수직성의 관점에서 기술한다.
• 노름이 매끄럽고 엄밀히 볼록할 경우, 볼록체의 외부에서 거리 함수가 $C^1$ 클래스임을 증명한다.

제안 방법

• 노름의 레지오드르 변환을 사용하여 쌍대 공간을 식별하며, 노름 공간의 이중성에서 표준 내적의 대체를 수행한다.
• 레지오드르 변환을 통해 볼록 함수의 노름 하위기울기와 노름 기울기를 정의함으로써, 노름의 쌍대 구조에 기반한 기하학적 해석이 가능하도록 한다.
• 비르호프 수직성을 적용하여 거리 함수의 노름 기울기가 볼록체의 외부 법선과 관련이 있음을 규명한다.
• 방향 도함수와 지지 방향을 사용하여 거리 함수의 경계 근처 및 외부에서의 행동을 분석한다.
• 식 $x = p_K(x) + \mathrm{dist}(x,K) \cdot \eta_K(x)$ 를 이용하여 $\mathbb{R}^n \setminus K$ 에서 노름 기울기의 연속성을 보인다.
• 레지오드르 변환을 통한 하위기울기 특성화를 적용하여 $\partial d_K(x) = \mathrm{NC}(K,x)$ 를 $\partial K$ 에서 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 노름 공간에서 볼록체에 대한 거리 함수의 미분 가능성은 노름과 볼록체에 대해 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ2 환경 노름이 매끄럽고 엄밀히 볼록할 경우, 볼록체의 외부에서 거리 함수가 미분 가능한가?
• RQ3 레지오드르 변환은 비유클리드 노름에서 볼록 함수의 노름 하위기울기와 기울기를 어떻게 정의하고 연구할 수 있는가?
• RQ4 거리 함수의 노름 하위기울기와 볼록체의 정규 쌍대선 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비르호프 수직성은 매끄럽고 엄밀히 볼록한 노름에서 거리 함수의 노름 기울기를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 거리 함수 $d_K$ 는 임의의 점 $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$ 에서 노름이 매끄럽고 엄밀히 볼록할 때에만 미분 가능하다.
• 점 $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$ 에서 $d_K$ 의 노름 기울기는 단위 외부 법선 $\eta_K(x)$ 와 일치하며, 즉 $\nabla d_K(x) = \eta_K(x)$ 이다.
• 경계점 $x \in \partial K$ 에서 $d_K$ 의 노름 하위기울기는 정확히 정규 쌍대선 $\mathrm{NC}(K,x)$ 와 일치하므로, $d_K$ 는 $\partial K$ 에서 미분 가능하지 않다.
• 노름 기울기 $\nabla d_K$ 는 $\mathbb{R}^n \setminus K$ 에서 연속적이며, 따라서 $d_K$ 는 $K$ 의 외부에서 $C^1$ 클래스이다.
• 외부 법선 방향으로의 거리 함수의 방향 도함수는 $(d_K)'_+(x, \eta_K(x)) = 1$ 을 만족하며, 기하학적 직관과 일치함을 확인한다.
• 점 $x \in \partial K$ 에서 $d_K$ 의 하위기울기는 비르호프 수직성을 통해 특성화된다: $v \in \partial d_K(x)$ 이다. $\Longleftrightarrow$ $v$ 는 단위 외부 법선이며, $v \dashv_B \mathbf{h}$ 를 만족한다. 여기서 $\mathbf{h}$ 는 점 $x$ 에서의 지지 초평면이다.