[논문 리뷰] Convex Bodies Associated to Tensor Norms

Maite Fernández-Unzueta, Luisa F. Higueras-Montaño|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 15.

Point processes and geometric inequalities인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 텐서 곱 공간 R^{d₁} ⊗ ⋯ ⊗ R^{dₗ 내의 0-대칭 볼록체인 '텐서리얼 바디(tensorial bodies)'를 도입한다. 이들은 타당한 크로스노름의 단위구로 나타나는 체계이다. 프로젝티브 및 임베딩 텐서 곱의 단위구를 통한 특성화를 제시하고, 오직 힐베르트 텐서 곱 단위구만 타원체임을 증명하며, 분해 가능한 벡터를 보존하는 선형 동형사상에 대해 텐서리얼 반바나흐-마자르 거리(tensorial Banach-Mazur distance)를 정의하여 이러한 바디들의 컴acts를 형성한다.

ABSTRACT

We determine when a convex body in $\mathbb{R}^d$ is the closed unit ball of a reasonable crossnorm on $\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots\otimes\mathbb{R}^{d_l},$ $d=d_1\cdots d_l.$ We call these convex bodies "tensorial bodies". We prove that, among them, the only ellipsoids are the closed unit balls of Hilbert tensor products of Euclidean spaces. It is also proved that linear isomorphisms on $\mathbb{R}^{d_1}\otimes\cdots \otimes \mathbb{R}^{d_l}$ preserving decomposable vectors map tensorial bodies into tensorial bodies. This leads us to define a Banach-Mazur type distance between them, and to prove that there exists a Banach-Mazur type compactum of tensorial bodies.

연구 동기 및 목표

• 텐서 곱 공간 R^{d₁} ⊗ ⋯ ⊗ R^{dₗ 내의 0-대칭 볼록체 중에서 타당한 크로스노름의 단위구인 경우를 특성화하는 것.
• 요소 공간 단위구의 프로젝티브 및 임베딩 텐서 곱에 대한 포함 관계를 만족하는 볼록체로 '텐서리얼 바디'의 클래스를 정의하고 연구하는 것.
• 분해 가능한 벡터를 보존하는 선형 동형사상 하에서 텐서리얼 바디의 기하학적 구조를 조사하는 것.
• 텐서리얼 반바나흐-마자르 거리를 정의하고, 텐서리얼 바디들의 컴팩트한 집합을 형성하는 것.
• 어떤 타원체가 텐서리얼 바디인지 결정하며, 그것들이 유클리드 공간의 힐베르트 텐서 곱으로부터 유래해야 한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한차원 공간 내 노름과 0-대칭 볼록체 사이의 일대일 대응을 위해 민코프스키 함수를 사용한다.
• 요소 공간 단위구 Qᵢ에 대해 Q₁ ⊗π ⋯ ⊗π Qₗ ⊆ Q ⊆ Q₁ ⊗ǫ ⋯ ⊗ǫ Qₗ 의 포함 관계를 통해 텐서리얼 바디를 특성화한다. 여기서 ∥·∥ᵢ 는 R^{dᵢ} 상의 노름이다.
• 아브루느와 샤레크가 정의한 볼록체의 프로젝티브 및 임베딩 텐서 곱을 적용하여 필요조건 및 충분조건을 도출한다.
• 분해 가능한 벡터를 보존하는 T에 대해 δBM⊗(P, Q) = inf{λ ≥ 1 : Q ⊆ T(P) ⊆ λQ} 를 통해 텐서리얼 반바나흐-마자르 거리를 정의한다.
• 귀납법과 직교 변환의 논증을 사용하여, 텐서리얼 포함 관계를 만족하는 타원체는 반드시 힐베르트 텐서 곱 단위구임을 증명한다.
• 행렬 항등식과 반대칭 행렬 제약 조건(레마 4.6를 통한)을 활용하여 특정 블록 구조를 가진 양의 정부호 행렬은 반드시 항등행렬이어야 하며, 이는 타원체 특성화를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 곱 공간 R^{d₁} ⊗ ⋯ ⊗ R^{dₗ 내의 0-대칭 볼록체 중에서 타당한 크로스노름의 단위구인 것은 무엇인가?
• RQ2 분해 가능한 벡터를 보존하는 선형 동형사상 하에서 텐서리얼 바디의 집합의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ3 텐서리얼 바디들로부터 반바나흐-마자르 유형의 컴팩트한 집합을 형성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 타원체가 텐서리얼 바디이며, 어떤 조건에서 그것이 유래되는가?
• RQ5 힐베르트 텐서 곱은 텐서리얼 타원체를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 0-대칭 볼록체 Q ⊂ R^{d₁} ⊗ ⋯ ⊗ R^{dₗ 는 다음 조건을 만족하는 0-대칭 볼록체 Qᵢ ⊂ R^{dᵢ} 가 존재할 때에만 텐서리얼 바디이다: Q₁ ⊗π ⋯ ⊗π Qₗ ⊆ Q ⊆ Q₁ ⊗ǫ ⋯ ⊗ǫ Qₗ.
• 텐서리얼 바디의 쌍대체도 텐서리얼 바디이며, 텐서리얼 바디는 양의 스칼라 곱에 대해 안정적이다.
• 정의 포함 관계에 등장하는 요소 볼록체 Qᵢ 는 본질적으로 유일하다.
• 분해 가능한 벡터를 보존하는 선형 동형사상은 텐서리얼 바디를 텐서리얼 바디로 보존하며, 이에 따라 텐서리얼 반바나흐-마자르 거리를 정의할 수 있다.
• 오직 유클리드 공간의 힐베르트 텐서 곱의 닫힌 단위구만 텐서리얼 바디인 타원체이다.
• 텐서리얼 바디들의 집합은 텐서리얼 거리 δBM⊗ 에서 반바나흐-마자르 유형의 컴팩트한 집합을 형성한다.