[논문 리뷰] Convex Chance-Constrained Programs with Wasserstein Ambiguity

Haoming Shen, Ruiwei Jiang|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 03.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 워샤프스키 애매성(Wasserstein ambiguity)을 가진 확률제약 프로그램이 타당 영역이 볼록이 되는 충분조건을 규명하여, 콘형 최적화(conic optimization)를 통해 효율적으로 해결할 수 있도록 한다. 이는 왼쪽 변위 불확실성의 경우 워샤프스키 중심이 가우시안일 때, 오른쪽 변위 불확실성의 경우 중심이 로그-볼록 또는 α-볼록(α ≥ -1)일 때 볼록성을 증명하며, 이러한 문제를 해결하기 위한 수렴하는 블록 좌표상승 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

Chance constraints yield non-convex feasible regions in general. In particular, when the uncertain parameters are modeled by a Wasserstein ball, arXiv:1806.07418 and arXiv:1809.00210 showed that the distributionally robust (pessimistic) chance constraint admits a mixed-integer conic representation. This paper identifies sufficient conditions that lead to convex feasible regions of chance constraints with Wasserstein ambiguity. First, when uncertainty arises from the right-hand side of a pessimistic joint chance constraint, we show that the ensuing feasible region is convex if the Wasserstein ball is centered around a log-concave distribution (or, more generally, an $α$-concave distribution with $α\geq -1$). In addition, we propose a block coordinate ascent algorithm and prove its convergence to global optimum, as well as the rate of convergence. Second, when uncertainty arises from the left-hand side of a pessimistic two-sided chance constraint, we show the convexity if the Wasserstein ball is centered around an elliptical and star-unimodal distribution. In addition, we propose a family of second-order conic inner approximations, and we bound their approximation error and prove their asymptotic exactness. Furthermore, we extend the convexity results to optimistic chance constraints.

연구 동기 및 목표

• 확률제약 프로그램이 워샤프스키 애매성을 가질 때 타당 영역이 볼록이 되는 충분조건을 규명하여, 일반적으로 비볼록성이 발생하는 이러한 문제들을 극복하는 것.
• 워샤프스키 애매성 하에서 비관적 및 낙관적 확률제약 조건에 대한 볼록성 결과를 확장하는 것.
• 유도된 볼록 최적화 문제를 해결하기 위한 수렴하는 블록 좌표상승 알고리즘을 개발하는 것.
• 애매성 집합이 특정 분포(Gaussian, log-concave, α-concave) 중심일 경우 타당 영역의 콘형 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 불확실성이 왼쪽 변위에 존재하고 워샤프스키 중심이 가우시안일 경우, 비관적 개별 확률제약 조건에 대해 볼록이고 콘형 표현을 유도한다.
• 불확실성이 오른쪽 변위에 존재할 때, 워샤프스키 중심이 로그-볼록 또는 α-볼록(α ≥ -1)일 경우 비관적 공동 확률제약 조건의 타당 영역이 볼록함을 증명한다.
• 낙관적 확률제약 프로그램을 해결하기 위한 블록 좌표상승 알고리즘을 제안하고 전역 수렴성을 입증한다.
• 이중성과 워샤프스키 거리의 성질을 활용하여 분포로 부터의 강건 확률제약 조건을 해석 가능한 형태로 재구성한다.
• 모레우-요시다 정규화와 방향도 함수 분석을 적용하여 가치 함수의 볼록성과 연속성을 입증한다.
• CVaR 재구성 기법을 활용하여 낙관적 확률제약 조건을 타당 집합까지의 거리에 대한 단일 강건 제약 조건으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률제약 프로그램이 워샤프스키 애매성을 가질 때 어떤 조건에서 타당 영역이 볼록이 되는가?
• RQ2 불확실성이 개별 확률제약 조건의 왼쪽 변위에 영향을 주는 경우, 특히 워샤프스키 중심이 가우시안일 때 볼록성이 유지되는가?
• RQ3 불확실성이 공동 확률제약 조건의 오른쪽 변위에 영향을 주는 경우, 워샤프스키 중심이 로그-볼록 또는 α-볼록일 때 볼록성이 성립하는가?
• RQ4 워샤프스키 애매성 하에서 낙관적 확률제약 프로그램을 해결하기 위한 수렴하는 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 이러한 볼록 확률제약 프로그램의 타당 영역에 대한 콘형 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 왼쪽 변위 불확실성이 존재하는 개별 확률제약 조건의 경우, 워샤프스키 애매성 집합이 가우시안 분포 중심일 때 타당 영역은 볼록이다.
• 오른쪽 변위 불확실성이 존재하는 공동 확률제약 조건의 경우, 워샤프스키 중심이 로그-볼록 분포 또는 더 일반적으로 α ≥ -1 인 α-볼록 분포일 때 타당 영역은 볼록이다.
• 논문은 비관적 케이스에 대해 혼합정수 콘형 표현을 제공하여, Xie(2019)와 Chen 등(2018)의 이전 연구를 확장한다.
• 낙관적 확률제약 조건을 해결하기 위한 블록 좌표상승 알고리즘을 제안하고 최적해로의 전역 수렴성을 입증한다.
• 낙관적 확률제약 조건은 타당 집합까지의 거리에 대한 CVaR를 포함하는 단일 강건 제약 조건으로 재구성되며, 이는 해법의 타당성을 보장한다.
• 가치 함수의 방향도가 연속적이고 양의 동차성을 띤다는 것이 입증되어 볼록성 분석에 기여한다.