[논문 리뷰] Convex Constrained Semialgebraic Volume Optimization: Application in Systems and Control

Ashkan Jasour, Constantino Lagoa|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 31.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비볼록 시스템 및 제어 문제—예를 들어 확률적 제어, 안정 영역 근사, 불변 집합 계산—을 볼록 준수 다항식 체계적 체적 최적화로 재구성하는 프레임워크를 소개한다. 측도와 순간 이론 및 제곱합(SOS) 다항식 표현을 활용하여, 진정한 타당 집합의 체적에 수렴하는 수렴성 있는 SDP(정재성 프로그래밍) 이완을 제공하는 계층적 볼록 SDP로 문제를 재구성한다. 이는 기존에 해결하기 어려운 문제에 대해 실현 가능하고 전역 수렴 가능한 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we generalize the chance optimization problems and introduce constrained volume optimization where enables us to obtain convex formulation for challenging problems in systems and control. We show that many different problems can be cast as a particular cases of this framework. In constrained volume optimization, we aim at maximizing the volume of a semialgebraic set under some semialgebraic constraints. Building on the theory of measures and moments, a sequence of semidefinite programs are provided, whose sequence of optimal values is shown to converge to the optimal value of the original problem. We show that different problems in the area of systems and control that are known to be nonconvex can be reformulated as special cases of this framework. Particularly, in this work, we address the problems of probabilistic control of uncertain systems as well as inner approximation of region of attraction and invariant sets of polynomial systems. Numerical examples are presented to illustrate the computational performance of the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 시스템 및 제어 문제에 대한 볼록 이완 프레임워크를 개발하여, 기존에는 계산적으로 해결하기 어려운 문제를 해결하고자 한다.
• 반정형 제약 조건 하에서 체적 최대화 문제를 볼록 실현 가능 문제로 재구성함으로써, 확률적 제약 최적화를 일반화하고자 한다.
• 다항식 시스템에서 안정 영역과 불변 집합의 내부 근사화를 위해 다항식 체계적 집합의 체적 최대화를 통해 실현 가능하게 하고자 한다.
• 제약 조건이 부여된 다항식 체계적 집합의 진정한 최적 체적에 수렴하는, 계층적 정재성 프로그래밍(SDP)을 제공하고자 한다.
• 측도 이론과 순간 이론, 제곱합 다항식 표현을 이용하여 이론적 수렴 보장을 수립하고자 한다.

제안 방법

• 두 집합 S1(a)와 S2(a)가 다항식 부등식으로 정의된 다항식 체계적 집합일 때, S1(a) ⊆ S2(a)를 조건으로 하여 S1(a)의 체적을 최대화하는 문제로 재구성한다.
• 측도와 순간 이론을 활용하여 체적을 Borel 측도에 대한 적분으로 표현함으로써, 비음수 측도 위에서 선형 함수 최대화 문제로 문제를 변환한다.
• 제곱합(SOS) 표현에서 유도된 순간 행렬과 국소화 행렬을 사용하여 유한 차원의 정재성 프로그래밍(SDP) 계층을 구성한다.
• Lasserre 계층을 활용하여, 제약 조건이 있는 집합의 진정한 최적 체적에 수렴하는 볼록 SDP 이완의 순서를 생성한다.
• 무한 차원 공간에서의 선형 프로그래밍 이중성 이론을 적용하여, 컴act성 및 내부 조건을 만족할 경우 제로 이중성 갭을 확보한다.
• L1-노름 최소화와 SOS 이완을 활용하여 지표 함수의 다항식 근사를 통해 타당 집합의 특성 함수를 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 및 제어 분야의 비볼록 체적 최대화 문제는 순간 및 제곱합 기법을 통해 볼록 최적화 문제로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 정재성 프로그래밍(SDP)의 계층은 제약 조건이 있는 다항식 체계적 집합의 최적 체적에 대해 수렴적인 근사를 제공하는가?
• RQ3 제안된 프레임워크는 체적 최대화를 통해 다항식 시스템의 안정 영역과 불변 집합을 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ4 무한 차원 측도 기반 문제와 그 유한 차원 SDP 이완 간의 이중성 갭이 제로가 되는 데 필요한 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ5 SDP 계층의 수렴성은 다항식 근사의 차수와 제약 조건의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 제안된 SDP 이완 계층은 제약 조건이 있는 다항식 체계적 집합의 진정한 최적 체적에 수렴하는 최적 값의 수렴 수열을 제공한다.
• 타당 집합의 컴팩트성과 내부 조건이 만족될 경우, 이론적으로 원래의 비볼록 문제의 최적 해에 전역 수렴을 달성한다.
• 수치 예제들은 이 방법의 계산 성능과 벤치마크 시스템 및 제어 문제에 대한 실용적 타당성을 입증한다.
• 무한 차원 측도 문제와 그 유한 차원 SDP 이완 간의 이중성 갭은 순차적 Banach-Alaoglu 정리와 약한-* 연속성에 의해 보장되며 제로이다.
• 다항식 근사의 차수가 증가함에 따라 지표 함수의 근사가 진정한 지표 함수로 수렴함이 입증되었으며, 이는 타당 집합 Ad가 진정한 타당 집합 AF로 수렴함을 보장한다.
• 이 방법은 확률적 제어, 안정 영역, 불변 집합 문제를 증명 가능 수렴성을 갖는 볼록 체적 최대화 문제로 성공적으로 재구성한다.