[논문 리뷰] Convex Relaxations with Second Order Cone Constraints for Nonconvex Quadratically Constrained Quadratic Programming

Rujun Jiang, Duan Li|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 06.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비볼록 2차 제약 프로그래밍(QCQP)을 위한 새로운 볼록 근사 접근법을 제안한다. 이는 타당한 2차 원통(SOC) 제약 조건을 구성하고, 선형 제약 조건과의 곱을 선형화하여 근사의 타당성을 강화한다. 이 방법은 타당한 부등식을 강화함으로써 이중성 갭을 줄이고 해의 품질을 향상시키며, 수치 실험을 통해 검증된다.

ABSTRACT

In this paper, we present new convex relaxations for nonconvex quadratically constrained quadratic programming (QCQP) problems. Since the basic semidefinite programming relaxation is often too loose for general QCQP, recent research has focused on strengthening convex relaxations using valid linear or second order cone (SOC) inequalities. In this paper, we con- struct valid second order cone constraints for nonconvex QCQP and reduce the duality gap using these valid constraints. Specifically, we decompose and relax the nonconvex constraints to two SOC constraints and then linearize the products of the SOC constraints and linear constraints to achieve some new valid constraints. Moreover, we introduce and generalize two recent tech- niques for generating valid inequalities to further enhance our method. We demonstrate the efficiency of our results with numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 QCQP에서 표준 정수형 프로그래밍 근사의 약점을 해결하기 위해 더 타당한 볼록 근사를 개발하기 위해.
• 타당한 2차 원통(SOC) 제약 조건을 도입하여 비볼록 QCQP의 근사 갭을 강화하기 위해.
• SOC 제약 조건과 선형 제약 조건 간의 곱을 선형화하여 볼록 근사의 품질을 향상시키기 위해.
• 최근에 개발된 타당한 부등식 생성 기법을 일반화하여 근사 강도를 향상시키기 위해.
• 수치 실험을 통해 제안된 근사 방법의 효능을 경험적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 비볼록 QCQP 제약 조건을 두 개의 2차 원통(SOC) 제약 조건으로 분해하여 볼록 근사를 가능하게 한다.
• SOC 제약 조건과 선형 제약 조건 간의 곱을 선형화하여 새로운 타당한 부등식을 구성한다.
• 근사의 타당성을 더 강화하기 위해 최근 두 가지 기법을 통합하고 일반화한다.
• 추가된 SOC 및 선형 제약 조건을 포함한 볼록 최적화 문제로 근사를 공식화하여 타당성을 높인다.
• 이중성 이론을 활용하여 원래의 비볼록 문제와 그 볼록 근사 간의 이중성 갭을 줄인다.
• 제안된 근사의 성능과 타당성을 평가하기 위해 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 QCQP의 볼록 근사를 강화하기 위해 2차 원통 제약 조건을 어떻게 효과적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 SOC 제약 조건과 선형 제약 조건 간의 곱을 선형화하면 근사의 타당성은 어떻게 향상되는가?
• RQ3 제안된 타당한 부등식은 기존 것과 비교해 이중성 갭을 줄이는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ4 타당한 부등식 생성 기법을 일반화한 기법은 근사 품질을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 기본 테스트 QCQP 인스턴스에서 제안된 근사 방법의 경험적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 타당한 2차 원통 제약 조건을 통합함으로써 비볼록 QCQP에서 이중성 갭을 성공적으로 줄였다.
• SOC 제약 조건과 선형 제약 조건 간의 곱을 선형화하면 새로운 타당한 부등식이 생성되어 근사의 타당성이 향상된다.
• 표준 정수형 프로그래밍 근사보다 더 타당하고 계산적으로 효과적인 근사를 제공함으로써 기존 방법을 향상시켰다.
• 타당한 부등식 생성 기법의 일반화된 기법들이 근사 강도 향상과 더 좁은 경계를 제공하는 데 기여한다.
• 수치 실험을 통해 제안된 근사 접근법의 효율성과 효과성이 테스트 인스턴스에서 확인되었다.
• 비볼록 QCQP의 기준 볼록 근사와 비교해 제안된 방법은 더 높은 해 품질을 보였다.