[논문 리뷰] Convex Solutions of systems of Monge-Ampère equations

Haiyan Wang|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 18.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정점 정리에 기반한 코너 내 고정점 이론을 사용하여 단위 구 내에서 몽주-아프레 방정식의 비자명한 경계가 있는 볼록 해의 존재성, 다중성, 비존재성을 확립한다. 주요 기여는 비선형성의 0과 무한대에서의 점근적 행동을 통해 해의 행동을 특성화한 것으로, 소스 항에서의 초선형 또는 초하향선형 성장은 적절한 파라미터 범위의 λ에 대해 해가 존재하도록 보장한다.

ABSTRACT

The existence and multiplicity and nonexistence of nontrivial radial convex solutions of systems of Monge-Ampère equations are established with superlinearity or sublinearity assumptions for an appropriately chosen parameter. The proof of the results is based on a fixed point theorem in a cone.

연구 동기 및 목표

• 단위 구 내에서 몽주-아프레 방정식 시스템에 대한 비자명한 경계가 있는 볼록 해의 존재성, 다중성, 비존재성을 확립한다.
• 비선형성 f^i의 0과 무한대에서의 점근적 행동이 해 존재성에 어떻게 영향을 미치는지 분석한다.
• 해가 존재하는, 유일한, 또는 다중인 파라미터 λ의 범위를 규명한다.
• 코너 내 고정점 이론을 활용하여 스칼라 몽주-아프레 결과를 시스템으로 확장한다.
• 몽주-아프레 방정식의 경계 구조를 활용하여 연산자의 날카운 감소를 제공한다.

제안 방법

• 경계 대칭성과 항등식 det(D²u_i) = (1/(N r^{N-1})) ((u_i')^N)'을 통해 원래 몽주-아프레 시스템을 등가의 상미분방정식 시스템으로 변환한다.
• 유도된 상미분방정식 시스템에 대해 코너 내 고정점 정리를 적용하여 볼록 해의 존재성을 증명한다.
• 비선형성의 성장률을 정규화하기 위해 함수 φ(t) = t^N 및 그 역함수 φ⁻¹(t) = t^{1/N}을 사용한다.
• 비선형성 f^i(𝐮)/φ(‖𝐮‖)의 ‖𝐮‖ → 0 및 ∞일 때의 극한인 f₀^i 및 f_∞^i를 정의하여 초선형/초하향선형 행동를 분류한다.
• 비선형성의 전체 성장 행동를 특성화하기 위해 합 𝔽₀ = ∑f₀^i 및 𝔽_∞ = ∑f_∞^i를 도입한다.
• 다양한 파라미터 영역에서 해의 노름을 유 bounds하기 위해 적분 추정과 코너 성질을 활용한 모순 증명 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 f^i에 어떤 조건이 성립할 경우 몽주-아프레 방정식 시스템이 비자명한 경계가 있는 볼록 해를 갖는가?
• RQ2 파라미터 λ는 볼록 경계 해의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 f₀^i 및 f_∞^i의 점근적 극한은 해 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 특정 성장 조건 하에서 두 개의 서로 다른 볼록 해가 존재하도록 보장할 수 있는가?
• RQ5 0과 무한대에서 비선형성의 초선형 또는 초하향선형 행동은 해 존재성의 임계 임계값 λ₀에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 𝔽₀ = 0 이고 𝔽_∞ = ∞ 이면, 모든 λ > 0 에 대해 시스템은 비자명한 볼록 해를 갖는다.
• 𝔽₀ = ∞ 이고 𝔽_∞ = 0 이면, 모든 λ > 0 에 대해 시스템은 비자명한 볼록 해를 갖는다.
• 𝔽₀ = 0 이거나 𝔽_∞ = 0 이면, λ₀ > 0 이 존재하여 모든 λ > λ₀ 에 대해 시스템은 엄밀히 볼록한 해를 갖는다.
• 𝔽₀ = ∞ 이거나 𝔽_∞ = ∞ 이면, λ₀ > 0 이 존재하여 모든 0 < λ < λ₀ 에 대해 시스템은 엄밀히 볼록한 해를 갖는다.
• 𝔽₀ = 𝔽_∞ = 0 이면, λ₀ > 0 이 존재하여 모든 λ > λ₀ 에 대해 시스템은 두 개의 엄밀히 볼록한 해를 갖는다.
• 𝔽₀ = 𝔽_∞ = ∞ 이면, λ₀ > 0 이 존재하여 모든 0 < λ < λ₀ 에 대해 시스템은 두 개의 엄밀히 볼록한 해를 갖는다.