[논문 리뷰] Convex Spaces I: Definition and Examples

T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 31.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 6인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 일관된 복합 조합을 갖춘 집합으로서의 볼록 공간에 대한 범주론적 프레임워크를 제안한다. 이는 일관성 조건을 만족하는 이항 연산의 가족을 통해 정의되며, 확률론적(기하학적) 및 가능성론적(조합론적) 구조—예를 들어 벡터 공간의 볼록 부분집합과 만족-반순서집합—을 통합한다. 볼록 공간이 둘 다 일반화함을 보이며, 예로는 반순서집합 위의 피복층과 같은 혼합형 구조가 포함된다.

ABSTRACT

We propose an abstract definition of convex spaces as sets where one can take convex combinations in a consistent way. A priori, a convex space is an algebra over a finitary version of the Giry monad. We identify the corresponding Lawvere theory as the category from arXiv:0902.2554 and use the results obtained there to extract a concrete definition of convex space in terms of a family of binary operations satisfying certain compatibility conditions. After giving an extensive list of examples of convex sets as they appear throughout mathematics and theoretical physics, we find that there also exist convex spaces that cannot be embedded into a vector space: semilattices are a class of examples of purely combinatorial type. In an information-theoretic interpretation, convex subsets of vector spaces are probabilistic, while semilattices are possibilistic. Convex spaces unify these two concepts.

연구 동기 및 목표

• 벡터 공간에 대한 임bedding에 의존하지 않는 볼록 공간의 추상적 정의를 제공하기 위해.
• 벡터 공간 내의 확률론적 볼록 집합과 반순서집합과 같은 가능성론적 구조를 하나의 프레임워크로 통합하기 위해.
• Lawvere 이론과 모나드를 사용하여 볼록 조합에 대한 범주론적 기반을 제공하기 위해.
• 볼록 공간이 기하학적이지 않은 이산적 구조, 예를 들어 반순서집합과 같은 것을 포함함을 보여주기 위해.
• 기하학, 조합론, 이론 물리학 등 다양한 분야의 예를 들어 프레임워크를 설명하기 위해.

제안 방법

• 결합 법칙, 교환 법칙, 단위원 연산과의 일관성 조건을 만족하는 이항 연산의 가족을 통해 볼록 공간을 정의한다.
• [Fri09]의 Lawvere 이론을 사용하여 범주론적 대수학에서 공리를 유도한다.
• 유한한 Giry 모나드의 판별형 버전에 대한 대수로 볼록 공간을 특성화한다.
• 반순서집합 위의 피복층으로 혼합형 볼록 공간을 구성하며, 각 섬유 간의 볼록 사상이 포함된다.
• 부분순서집합 S에서 볼록 공간으로의 함자를 사용하여 혼합형 공간을 위한 일반적 구성 Sf ⋉C· 을 도입한다.
• 예를 들어 볼록 부분집합의 볼록 집합, 주관적 확률을 가진 복권, 무한원점이 있는 공간 등에 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 공간에 의존하지 않고 볼록 조합을 어떻게 추상적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 벡터 공간의 볼록 부분집합 이외의 수학적 구조 중 볼록 공간의 공리를 만족하는 클래스는 무엇인가?
• RQ3 확률론적(기하학적) 및 가능성론적(조합론적) 구조가 하나의 프레임워크 내에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 볼록 공간은 반순서집합과 볼록 섬유를 포함한 더 단순한 구성요소들로 분해될 수 있는가?
• RQ5 결과로 도출된 볼록 공간의 범주에 대한 범주론적 및 대수적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 볼록 공간은 벡터 공간 내의 확률론적 볼록 집합과 조합론적 반순서집합을 모두 일반화하며, 두 가지 서로 다른 패러다임을 통합한다.
• 반순서집합, 예를 들어 부분집합의 만족 연산 또는 자연수의 나눗셈 연산은 만족 연산을 볼록 조합으로 삼아 볼록 공간이 된다.
• 혼합형 볼록 공간이 존재한다. 예를 들어 [0,1)과 ∆{a,b}가 특별한 볼록 조합 규칙으로 조합된 복권 예제가 있다.
• 벡터 공간의 볼록 부분집합의 집합은 민코프스키 합에 대해 볼록 공간이 되지만, 기하학적 또는 조합론적 유형이 아니며 별개의 유형이다.
• Sf ⋉C· 구성은 혼합형 볼록 공간을 일반화하며, 무한원점 확장도 포함한다.
• 1/2(0,1) + 1/2[0,1] = (0,1)과 같은 예를 통해 볼록 집합의 볼록 공간이 기하학적 유형의 공리를 만족하지 않음을 보여주며, 이는 벡터 공간의 볼록 집합과 본질적으로 다름을 증명한다.