[논문 리뷰] Convex Structured Controller Design

Krishnamurthy Dvijotham, Emanuel Todorov외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 30.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 선형 입력-출력 맵의 특이값을 기반으로 한 새로운 제어 목표를 도입하여, 구조적 선형 피드백 제어기 설계를 위한 새로운 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 고정된 결정력 성질(Bode의 감도 적분)을 활용함으로써, 임의의 볼록 제약 조건 하에서 비볼록 구조적 제어 문제를 볼록 문제로 변환하여, 분산형, 지연이 있는, 또는 희소 구조를 가진 시스템에 대해 최적의 제어기를 효율적으로 계산할 수 있으며, 이는 이론적 하위최적성 보장을 제공한다.

ABSTRACT

We consider the problem of synthesizing optimal linear feedback policies subject to arbitrary convex constraints on the feedback matrix. This is known to be a hard problem in the usual formulations ($\Htwo,\Hinf,\LQR$) and previous works have focused on characterizing classes of structural constraints that allow efficient solution through convex optimization or dynamic programming techniques. In this paper, we propose a new control objective and show that this formulation makes the problem of computing optimal linear feedback matrices convex under arbitrary convex constraints on the feedback matrix. This allows us to solve problems in decentralized control (sparsity in the feedback matrices), control with delays and variable impedance control. Although the control objective is nonstandard, we present theoretical and empirical evidence that it agrees well with standard notions of control. We also present an extension to nonlinear control affine systems. We present numerical experiments validating our approach.

연구 동기 및 목표

• 희소성이나 지연과 같은 볼록 제약 조건 하에서 구조적 선형 제어기 합성 문제가 NP-난해함으로 인해 기존의 동적 프rogramming 또는 LQR 방법을 적용할 수 없는 문제를 해결하기 위해.
• 기존 주파수 도메인 또는 비볼록 접근 방식의 한계를 극복하고, 구조적 제어기 설계를 위한 볼록 최적화를 가능하게 하는 새로운 제어 목표를 개발하기 위해.
• 새로운 볼록 목표와 H₂ 및 H∞ 노름과 같은 표준 지표 사이의 이론적 하위최적성 경계를 제공하기 위해.
• 프레임워크를 시간에 따라 변하는 비선형 제어-아핀 시스템으로 확장하기 위해.
• 수치적 실험을 통해 방법을 검증하고, 비볼록 최적화 기법 대비 성능 향상을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 외란에서 상태 궤적에 이르는 선형 사상 F의 특이값을 기반으로 한 새로운 제어 목표를 도입한다. F는 상태 공분산 행렬의 콜레스키 분해이다.
• F의 특이값의 곱이 고정되어 있음을 이용하여(H₂ 및 H∞ 노름의 볼록 근사화가 가능하다.
• 새로운 목표는 피드백 이득 행렬 K에 대한 볼록 함수로 구성되며, K에 대한 임의의 볼록 제약 조건 하에서 효율적인 볼록 최적화를 가능하게 한다.
• 입력-출력 맵의 역행렬을 사용하여 H₂ 및 H∞ 노름의 상한을 유도하며, 이는 K에 대해 볼록이며, 대체 목표로 사용된다.
• 유사한 볼록화 기법을 사용하여, 제어-아핀 동역학으로 확장함으로써 비선형 시스템으로의 일반화를 수행한다.
• 실제 H₂ 또는 H∞ 최적 제어기와의 근접도를 수량화하는 하위최적성 경계를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희소성 또는 지연과 같은 임의의 볼록 제약 조건 하에서, 구조적 선형 제어기 설계를 위한 볼록 최적화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 구조적 제약 조건 하에서 H₂ 또는 H∞ 노름을 최소화하는 비볼록 문제를 어떻게 볼록 대체 목표로 근사화할 수 있는가?
• RQ3 새로운 볼록 목표와 원래의 비볼록 H₂/H∞ 성능 지표 사이의 이론적 관계는 무엇인가?
• RQ4 제안된 방법을 시간에 따라 변하는 비선형 제어-아핀 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이 볼록 방법을 통해 합성된 제어기의 성능은 실생활에서 비볼록 최적화 기법에 비해 어떻게 다른가?

주요 결과

• 제안된 볼록 최적화 프레임워크는 희소성 패턴을 포함한 임의의 볼록 제약 조건 하에서 최적의 선형 피드백 제어기를 효율적으로 계산할 수 있다.
• 수치 실험에서 기존의 비볼록 방법에 비해 더 뛰어난 성능과 더 빠른 수렴 속도를 보였다. 특히 H₂ 및 H∞ 성능 지표에서 두드러진 성능 향상을 보였다.
• 이론적 하위최적성 경계는 볼록 문제의 해가 실제 최적 H₂ 또는 H∞ 성능에 대해 제어된 요소 내에서 근접해 있음을 보여준다.
• 프레임워크는 시간에 따라 변하는 선형 시스템과 비선형 제어-아핀 시스템으로 일반화되어 있으며, 기존 LQR 설정을 넘어서 적용 가능성을 넓혔다.
• 역맵의 특이값을 사용함으로써 이전에는 비볼록이었던 목표, 예를 들어 상태 전이 맵의 노름을 볼록화할 수 있었다.
• 이 방법은 입력-출력 맵의 결정력이 고정되어 있음을 이용하여(Bode의 감도 적분), 효율적이고 볼록인 제어 설계 알고리즘을 설계하는 데 있어 최초의 시도이다.