[논문 리뷰] Convexification method for a coefficient inverse problem and its performance for experimental backscatter data for buried targets

Michael V. Klibanov, Aleksandr E. Kolesov외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 19.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매질에 묻힌 목표물의 실험적 산란 데이터를 사용하여 3차원 계수 역문제(CIP)를 해결하기 위한 볼록화 방법을 제시한다. 칼레만 가중함수를 활용해 전역적으로 엄격히 볼록인 비용 기능을 구성함으로써 국소 최솟값이 없는 전역 수렴을 보장하며, 높은 노이즈 수준에서도 유전율과 위치를 정확하게 재구성할 수 있다. 실제 실험 데이터를 바탕으로 검증되었으며 대부분의 경우 오차가 10% 이하이다.

ABSTRACT

We present in this paper a novel numerical reconstruction method for solving a 3D coefficient inverse problem with scattering data generated by a single direction of the incident plane wave. This inverse problem is well-known to be a highly nonlinear and ill-posed problem. Therefore, optimization-based reconstruction methods for solving this problem would typically suffer from the local-minima trapping and require strong a priori information of the solution. To avoid these problems, in our numerical method, we aim to construct a cost functional with a globally strictly convex property, whose minimizer can provide a good approximation for the exact solution of the inverse problem. The key ingredients for the construction of such functional are an integro-differential formulation of the inverse problem and a Carleman weight function. Under a (partial) finite difference approximation, the global strict convexity is proven using the tool of Carleman estimates. The global convergence of the gradient projection method to the exact solution is proven as well. We demonstrate the efficiency of our reconstruction method via a numerical study of experimental backscatter data for buried objects.

연구 동기 및 목표

• 단일 입사 평면파 방향의 산란 데이터를 사용한 3차원 계수 역문제(CIP)에 대한 전역 수렴 수치적 방법을 개발하는 것.
• 기존 최적화 기반 방법의 한계, 즉 국소 최솟값에 갇히는 문제와 강력한 사전 정보에 의존하는 문제를 해결하는 것.
• 모의 데이터보다 훨씬 더 도전적인 실험적 산란 데이터를 활용한 매질에 묻힌 목표물에 대한 볼록화 방법의 확장.
• 실제 노이즈가 있는 측정값에서 매질에 묻힌 물체의 유전율과 공간적 위치를 재구성할 때 전역 수렴성과 높은 정확도를 입증하는 것.

제안 방법

• 칼레만 추정을 활용해 유도된 칼레만 가중함수(CWF)를 사용하여 전역적으로 엄격히 볼록인 가중 비용 기능을 구성한다.
• CWF는 헬름홀츠 연산자에 대한 칼레만 추정에서 유도되며, 경사 프로젝션 방법의 전역 수렴성을 보장한다.
• 두 개의 공간 변수에 대해서는 준연속 유한차분 근사법을 사용하고, 세 번째 변수는 계속 기하학적 형태를 유지함으로써 계산 가능성과 이론적 엄밀함을 균형 잡는다.
• 반복적인 尾함수 조정을 피하고, 작은 파수량 간격이 필요로 하지 않아 이전의 전역 수렴 방법보다 더 뛰어난 견고성을 확보한다.
• 데이터 전처리 단계에서는 기준값 제거와 역전파를 수행하여 신호 대 노이즈 비율을 향상시키고 목표물의 위치를 추정한다.
• 비용 기능의 최소화를 위해 경사 프로젝션 방법을 사용하여 재구성을 수행하며, 이 방법은 노이즈와 이산화 오차에만 의존하는 이웃 영역 내에서 진짜 해로의 전역 수렴이 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록화 기반 방법이 매질에 묻힌 목표물의 실험적 산란 데이터를 사용하여 3차원 계수 역문제에 대해 전역 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 칼레만 가중함수가 비용 기능의 전역적으로 엄격한 볼록성을 어떻게 보장하여 국소 최솟값 없이 진짜 해로 수렴하게 하는가?
• RQ3 고노이즈 및 제한된 데이터 조건 하에서 매질에 묻힌 물체의 유전율과 공간적 위치를 재구성할 때 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ4 작은 파수량 간격이나 반복적인 尾함수 조정이 필요한 이전의 전역 수렴 방법과 비교할 때, 이 방법의 가정은 어떠한가?

주요 결과

• 이 방법은 여섯 개의 매질에 묻힌 목표물에 대해 계산 오차가 1.23%에서 9.63% 사이로 재구성하였으며, 이는 모두 측정 오차 수준 이하이거나 유사한 수준이었다.
• 모든 경우에서 재구성된 최대 계수의 위치가 진짜 목표물 위치에서 0.25m 이내에 위치하여 높은 공간 정확도를 입증하였다.
• 암석(물체 3)의 경우 재구성된 유전율은 5.07이며 오차가 9.63%였는데, 이는 측정 오차 21.3%보다 낮아 방법의 견고성을 시사한다.
• 해의 이웃 영역에 대한 사전 지식이 필요 없이도 전역 수렴이 달성되었으며, 오직 노이즈와 이산화 오차 수준에 의존하였다.
• 지오드와 시카모어(물체 2 및 4)에 대한 재구성 영상은 정확한 형태와 매우 유사하였으며, 파라뷰어의 등고선 필터를 통해 시각화되었다.
• 각 목표물에 대해 최적의 주파수 및 파수량 간격이 결정되었으며, 이 방법은 다양한 재질과 크기의 물체에서 일관된 성능을 보였다.