[논문 리뷰] Convexity and monotonicity for the elliptic integrals of the first kind and applications

Zhen-Hang Yang, Jing-Feng Tian|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 완전 타원적분의 제1종 $\mathcal{K}(r)$와 관련된 조합의 단조성 및 볼록성 성질을 조사한다. 새로운 분석 도구를 사용하여, $\mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$가 $(0,1)$에서 엄격하게 볼록함이 되는 것은 $c = e^{4/3}$이면 오직 그 때에만 성립함을 증명하며, 이는 $\mathcal{K}(r)$ 및 관련 함수에 대한 날카운 불등식과 경계를 도출한다.

ABSTRACT

The elliptic integral and its various generalizations are playing very important and basic role in different branches of modern mathematics. It is well known that they cannot be represented by the elementary transcendental functions. Therefore, there is a need for sharp computable bounds for the family of integrals. In this paper, by virtue of two new tools, we study monotonicity and convexity of certain combinations of the complete elliptic integrals of the first kind, and obtain new sharp bounds and inequalities for them. In particular, we prove that the function $\mathcal{K}\left( \sqrt{% x} ight) /\ln \left( c/\sqrt{1-x} ight) $ is concave on $\left( 0,1 ight) $ if and only if $c=e^{4/3}$, where $\mathcal{K}$ denotes the complete elliptic integrals of the first kind.

연구 동기 및 목표

• 완전 타원적분의 제1종 $\mathcal{K}(r)$에 대한 새로운 날카운 경계와 부등식을 확립하는 것. 이는 기본 함수로 표현될 수 없는 경우를 포함한다.
• $(0,1)$에서 함수 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$의 볼록성과 단조성 성질을 조사하며, 특히 이 함수가 볼록함이 되는 $c$의 정확한 값을 규명하는 것.
• 관련 함수의 고차 도함수 성질인 볼록성과 단조성 분석을 통해 $\mathcal{K}(r)$에 대한 기존의 점근적 및 비교 부등식을 확장하는 것.
• $\mathcal{K}(r)$ 및 그 조합, 특히 모듈러스 $\mu(r)$에 대한 새로운 추정치를 볼록성 및 볼록성 결과를 활용하여 제공하는 것.
• 준등각 사상 이론과 특수함수 이론에서 기존 경계를 향상시키기 위한 목적으로 열린 문제와 추측을 제기하고 동기를 부여하는 것.

제안 방법

• 함수의 도함수의 부호와 단조성을 분석하기 위해 두 가지 새로운 분석 도구(보조정리 1 및 2)를 사용한다. 이 도구들은 $\mathcal{K}(r)$와 로그 항을 포함하는 함수에 적용된다.
• 특히 $x=1$ 근처에서의 행동을 고려하여 가우스 제타함수 $F(a,b;c;x)$의 성질을 적용하여 $\mathcal{K}(r)$의 점근 전개를 유도한다.
• 초함수의 미분 공식을 활용하여 $Q_1(x)$ 및 $D(x)$의 도함수를 계산함으로써 볼록성 및 단조성 분석을 가능하게 한다.
• $r \to 1^-$일 때 $\mathcal{K}(r) \sim \ln(4 / r')$인 점근 전개를 활용하여 로그 항을 포함하는 비교 함수의 구성에 안내한다.
• 기존의 비율 $\mathcal{K}(r)/\ln(c / r')$의 단조성 결과를 활용하여 이를 볼록성 및 볼록성 분석으로 확장한다.
• 베타함수와 감마함수, 그리고 디아이감마 함수 $\psi(z)$를 사용하여 점근 전개 및 부등식에서의 상수를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$가 $(0,1)$에서 엄격하게 볼록함이 되는 $c$의 값은 무엇인가?
• RQ2 함수 $Q_1(x)$가 볼록 또는 로그-볼록임이 성립하는 조건은 무엇이며, 이러한 성질이 $\mathcal{K}(r)$의 경계 향상에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 $Q_2(r) = \mathcal{K}(r) / \ln(1 + 4 / r')$는 $(0,1)$에서 볼록 또는 볼록함이 되는가? 이는 $\mathcal{K}(r)$의 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $D(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) - \ln(1 + 4 / \sqrt{1-x})$가 볼록임을 보일 수 있으며, 또는 그 도함수 $D'(x)$가 단조함을 갖는가?
• RQ5 $Q_1(x)$가 $(0,1)$에서 볼록이 되는 최적의 매개변수 $c$는 무엇이며, 또는 $1/Q_1(x)$가 볼록함이 되는가?

주요 결과

• 함수 $Q_1(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) / \ln(c / \sqrt{1-x})$는 $(0,1)$에서 엄격하게 볼록함이 되는 것이 $c = e^{4/3}$이면 오직 그 때에만 성립하며, 이는 볼록성에 대한 날카운 임계값을 제공한다.
• $c = e^{4/3}$일 때, 함수 $Q_1(x)$는 $(0,1)$에서 엄격하게 감소하고 로그-볼록함을 가지며, $1/Q_1(x)$는 볼록함을 가진다.
• 함수 $D(x) = \mathcal{K}(\sqrt{x}) - \ln(1 + 4 / \sqrt{1-x})$는 $(0,1)$에서 엄격하게 볼록함을 가지며, 그 도함수 $D'(x)$는 부호가 한 번만 변화함으로써 유일한 최솟값을 가짐을 나타낸다.
• 함수 $Q_2(r) = \mathcal{K}(r) / \ln(1 + 4 / r')$는 $(0,1)$에서 엄격하게 증가함을 보이며, 이는 $\mathcal{K}(r)$에 대한 로그 표현에 기반한 개선된 경계를 암시한다.
• $r \in (0,1)$에 대해 이중 부등식 $\ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2) + p r^2 < \mathcal{K}(r) < \ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2) + q r^2$ 이 성립하는 것은 $p \leq \pi/8 - 2/5$ 및 $q \geq \ln 5 - \pi/2$일 때에만 성립하며, 이는 날카운 이차 경계를 제공한다.
• 함수 $\mathcal{K}(r) < \ln(1 + 4/r') - (\ln 5 - \pi/2)(1 - r)$에 대한 추측은 $D(x)$의 볼록성에 의해 확인되었으며, 이는 이전에 제기된 부등식에 대한 새로운 증명을 제공한다.